Polinomi di McLaurin
Ciao a tutti!
Tra pochi giorni avrò un esame e mi sto esercitando coi polinomi di McLaurin e di Taylor, ma non capisco se li applico nel modo corretto, e se la parte principale è quella che credo io.
Ad esempio:
$ (1-cos(x+x^2))/(sin^2(x)) $ con $ x->0 $
Con McLaurin otterrei:
$ (1-(1-(x+x^2)/(2!)+o(x+x^2)))/(x-x^3/(3!))^2 $ che sviluppando non oltre il quarto grado diventa:
$ ((x^4+2x^3+x^2)/2+o(x+x^2))/(x^2-x^4/3+o(x^5) $
Ora: come trasformo $ o(x+x^2) $ ? Cosa dovrebbe diventare? io per sicurezza avrei posto $ o(x^2) $, ma allora anche gli $ x^4 $ e gli $ x^3 $ lo sono no? Allora la $ f(x) $ diventerebbe $ (x^2/2+o(x^2))/(x^2+o(x^2) $, perciò rimarrebbe $ 1/2 $. E' corretto?
Grazie a tutti quelli che risponderanno!
Tra pochi giorni avrò un esame e mi sto esercitando coi polinomi di McLaurin e di Taylor, ma non capisco se li applico nel modo corretto, e se la parte principale è quella che credo io.
Ad esempio:
$ (1-cos(x+x^2))/(sin^2(x)) $ con $ x->0 $
Con McLaurin otterrei:
$ (1-(1-(x+x^2)/(2!)+o(x+x^2)))/(x-x^3/(3!))^2 $ che sviluppando non oltre il quarto grado diventa:
$ ((x^4+2x^3+x^2)/2+o(x+x^2))/(x^2-x^4/3+o(x^5) $
Ora: come trasformo $ o(x+x^2) $ ? Cosa dovrebbe diventare? io per sicurezza avrei posto $ o(x^2) $, ma allora anche gli $ x^4 $ e gli $ x^3 $ lo sono no? Allora la $ f(x) $ diventerebbe $ (x^2/2+o(x^2))/(x^2+o(x^2) $, perciò rimarrebbe $ 1/2 $. E' corretto?
Grazie a tutti quelli che risponderanno!
Risposte
Da $\cos t=1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}+o(t^4)$ e che $\sin t=t-\frac{t^3}{3!}+o(t^3)$ (visto che vuoi fermarti agli ordini inferiori di $4$) otteniamo
$$\cos(x+x^2)=1-\frac{(x+x^2)^2}{2!}+o((x+x^2)^2)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\\ \sin^2 x=\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right)^2=x^2+o(x^2)$$
Infatti, basta ragionare sulle parti principali e scaricare, così, negli $o$-piccoli tutto il resto. Il limite è corretto.
$$\cos(x+x^2)=1-\frac{(x+x^2)^2}{2!}+o((x+x^2)^2)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\\ \sin^2 x=\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right)^2=x^2+o(x^2)$$
Infatti, basta ragionare sulle parti principali e scaricare, così, negli $o$-piccoli tutto il resto. Il limite è corretto.
Grazie mille! Credo di aver capito, ma alcune funzioni non mi convincono ancora, ad esempio:
$ (x-sin(x))log(x)log(1+x) $
che sviluppata con McLaurin al grado 3 diventa
$ (x-x+x^3/6+o(x^4))log(x)(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)) $
portando avanti i calcoli ottengo $ log(x)+o(x^3) $ , ma sarebbe questa la parte principale? Dovrei forse sviluppare ad un grado più alto?
Grazie ancora, e scusate la pedanteria!
$ (x-sin(x))log(x)log(1+x) $
che sviluppata con McLaurin al grado 3 diventa
$ (x-x+x^3/6+o(x^4))log(x)(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)) $
portando avanti i calcoli ottengo $ log(x)+o(x^3) $ , ma sarebbe questa la parte principale? Dovrei forse sviluppare ad un grado più alto?
Grazie ancora, e scusate la pedanteria!
Ma questa funzione mica si può sviluppare in $x=0$. Il logaritmo al centro non è definito.
Sarebbe da svilupparsi in $ 0^+ $ , credevo che lo sviluppo di McLaurin fosse valido anche in questo caso...
Non è così giusto?
Non è così giusto?
Mah, la funzione $\log x$ si sviluppa in qualsiasi punto $x_0>0$, ma non in zero, anche se fosse $0^+$ (che poi non ha molto senso. Sicuro che sia quella la traccia? Anche perché ti faccio presente che, ammettendo che quello che hai scritto sia il risultato corretto, non è un polinomio.
L'esercizio mi chiede di calcolare parte principale e ordine di infinitesimo di questa funzione. Ho pensato di farla con McLaurin perché è l'argomento del foglio di esercitazioni, ma se hai idee migliori sono tutto orecchi!
Mmmmm... dunque la funzione è sicuramente infinitesima, visto che $x-\sin x=x^3/6+o(x^3),\ \log(1+x)=x+o(x)$ e che, pertanto, il tutto viene scritto come $x^4\log x+o(x^4\log x)$. Ora, il problema è che la parte principale sarebbe una cosa del tipo $kx^\alpha,\ \alpha>0$ per cui $\lim_{x\to 0}\frac{x^4\log x}{kx^\alpha}=1$ e vedi da te che tale termine non esiste. Infatti se $\alpha<4$ il limite viene zero, se $\alpha=4$ il limite viene meno infinito e per $\alpha>4$ viene di nuovo zero.
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