Polinomi di hermite - metodi numerici

[vicwooten]

Dati i polinomi di hermite di tipo Hn(x),la cui funzione generatrice è data dall'espressione:
G(x,t)= e^(2xt-t^2)= (sommatoria 0;+inf)t^n/n! Hn(x) con x,t appart R
determinare la forma esplicita dei polinomi di hermite di tipo Hen(x) la cui funzione generatrice è:
G(x,t)= e^(xt-t^2/2) con x,t appart R
e sottolineare le differenze.

[ciampax]

Ho guardato ieri l'esercizio e stavo provando a farlo in un modo, ma mi sono reso conto che viene troppo lungo. L'osservazione da fare è la seguente:

1)

[math]G(x,t)=e^{2xt-t^2}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}\ H_n(x)[/math]

e

2)

[math]G_1(x,t)=e^{xt-t^2/2}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}\ He_n(x)[/math]

la seconda per definizione di funzione generatrice. Per la stessa definizione, ricorda anche che

[math]H_n(x)=\frac{d^n}{dt^n} G(x,t)\Big|_{t=0}[/math]

e

[math]He_n(x)=\frac{d^n}{dt^n} G_1(x,t)\Big|_{t=0}[/math]

Osserviamo ora che

[math]G_1(x,t)=e^{\frac{2xt-t^2}{2}}=[G(x,t)]^{1/2}[/math]

per cui, l'unica cosa da fare per determinare i polinomi di Hermite associati a

[math]G_1[/math]

è comprendere la relazione tra le derivate delle funzioni generatrici.

A questo punto, però, la cosa si fa un po' complicata poiché dovremmo cercare di esprimere le derivate n-ime di

[math]G_1[/math]

attraverso quelle di

[math]G[/math]

e ad un certo punto viene un caos di calcoli. Ci penso su e ti faccio sapere.

[vicwooten]

Grazie Ciampax.Io brancolo un pò nel buio,dovrei fare quest'esame nella sezione estiva ma ho anche altri esami in agenda.

[ciampax]

Allora, ci ho provato in tutti i modi ma mi vengono sempre fuori calcoli astronomici (fattibili, per carità, ma un po' una rottura di scatole). Suppongo ci sia un metodo più diretto per farlo, ma al momento non mi vine in mente. C penserò ancora un po' su.