Polinomi alla potenza n-esima con o-piccoli

[SwitchArio]

Buongiorno, ho bisogno di sviluppare sfruttando taylor il termine $(\frac{sinx}{x})^6$, almeno per i primi 3 termini, dunque $(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{5!}+o(x^5))^6$.
Ma come calcolo un cosa del genere?
O più in generale: come calcolo "velocemente" i polinomi alla potenza n-esima potendo trascurare i termini che vengono mangiati dagli o-piccoli? (in questo caso se non sbaglio mi interesserebbero solo i termini più grandi di $o(x^5)$).

Il triangolo di tartaglia mi aiutava coi coefficienti per quanto riguardava i binomi ma in questi esiste qualcosa di simile?

[megas_archon]

\((1+bx^2+cx^4)^6 = \sum_{i+j+k=6}\binom 6{i,j,k}b^jc^kx^{2j+4k}\) va "ridotto" togliendo tutti i termini tali che \(2j+4k\ge 5\). Quanti indici \(0\le i,j,k\le 6,i+j+k=6\) esistono tali che \(2j+4k<5\)? Non molti...

[pilloeffe]

Ciao SwitchArio,

Facendo i conti dovrebbe risultarti quanto segue:

$((sin x)/x)^6 = 1 - x^2 + 7/15 x^4 + o(x^6) $

[gugo82]

Basta fare i conti con la potenza del binomio, tenendo però presenti:

[*:2n81ym0o] le regole di calcolo correlate all'uso del simbolo di Landau $"o"$, come $alpha x^k "o"(x^n) = "o"(x^(n+k))$ oppure $("o"(x^n))^k = "o"(x^(kn))$,

[/*:m:2n81ym0o]
[*:2n81ym0o] il fatto che il termine $"o"(x^("grado minore"))$ "si mangia" ogni contributo d'ordine superiore a $x^("grado minore")$, nel senso che $x^p " e " "o"(x^p) = "o"(x^n)$ per ogni $p > n$.[/*:m:2n81ym0o][/list:u:2n81ym0o]

Tanto per capirci (invento una situazione tipo):
\[
\begin{align*}
(x^2 + 3x^3 + \text{o}(x^4))^4 &= \big[x^2 + (3x^3 + \text{o}(x^4))\big]^4 & & \text{propr. associativa}\\
&= x^8 + {\color{red} 4 x^6\ (3x^3 + \text{o}(x^4))^1} + {\color{orange} 6 x^4 (3x^3 + \text{o}(x^4))^2} + & & \\
&\phantom{=} {\color{brown} 4 x^2 (3x^3 + \text{o}(x^4))^3} + {\color{magenta} (3x^3+ \text{o}(x^4))^4} & & \text{sviluppo 4a potenza}\\
&= x^8 + {\color{red} 12 x^9 + \text{o}(x^{10})} + {\color{orange} 6 x^4 (9x^6 + \text{o}(x^{7}) + \text{o}(x^8))} + & &\\
&\phantom{=} {\color{brown} 4 x^2 (27x^9 + \text{o}(x^{10}) + \text{o} (x^{11})+ \text{o}(x^{12}))} + & & \\
&\phantom{=} + {\color{magenta} (81x^{12} + \text{o}(x^{13}) + \text{o}(x^{14}) + \text{o}(x^{15}) + \text{o}(x^{16}))} & & \text{sviluppo potenze}\\
&= x^8 + {\color{red} 4 x^6\ (3x^3 + \text{o}(x^4))} + {\color{orange} 6 x^4 (9x^6 + \text{o}(x^{7}))} + & &\\
&\phantom{=} +{\color{brown} 4 x^2 (27x^9 + \text{o}(x^{10}))} + & & \\
&\phantom{=} + {\color{magenta} (81x^{12} + \text{o}(x^{13}))} & & \text{elimino ordini sup.} \\
&= x^8 + {\color{red} 12 x^9 + \text{o}(x^{10})} + {\color{orange} 54x^{10} + \text{o}(x^{11})} + & &\\
&\phantom{=} +{\color{brown} 108x^{11} + \text{o}(x^{12})} + & & \\
&\phantom{=} + {\color{magenta} 81x^{12} + \text{o}(x^{13})} & & \text{elimino parentesi}\\
&= x^8 + {\color{red} 12 x^9 + \text{o}(x^{10})} + {\color{orange} 54x^{10}} & & \text{elimino ordini sup.}\\
\end{align*}
\]
quindi:
\[
(x^2 + 3x^3 + \text{o}(x^4))^4 = x^8 + 12 x^9 + 54 x^{10} + \text{o}(x^{10})\; .
\]
Tanto per capire che lo sviluppo è quello esatto, cfr. lo sviluppo di $(x^2 +3x^3 + sin(x^5))^4$ (N.B.: $sin (x^5) = "o"(x^4)$ per $x -> 0$) calcolato da wolframalpha.

[SwitchArio]

"megas_archon":\( (1+bx^2+cx^4)^6 = \sum_{i+j+k=6}\binom 6{i,j,k}b^jc^kx^{2j+4k} \)

Ciao megas_archon, quella che hai usato che formula è, ne esiste una generalizzata?
\(\displaystyle \binom 6{i,j,k} \) il coefficente binomiale scritto con i 3 indici cosa indica?

@gugo82 grazie per la risposta elaborata, dunque basta che mi riconduco al binomio e poi faccio i conti.

[gugo82]

"SwitchArio":@gugo82 grazie per la risposta elaborata, dunque basta che mi riconduco al binomio e poi faccio i conti.

Prego.
Sono conti che odio, ma almeno una volta nella vita vanno fatti.

"SwitchArio":[quote="megas_archon"]\( (1+bx^2+cx^4)^6 = \sum_{i+j+k=6}\binom 6{i,j,k}b^jc^kx^{2j+4k} \)

Ciao megas_archon, quella che hai usato che formula è, ne esiste una generalizzata?
\(\displaystyle \binom 6{i,j,k} \) il coefficente binomiale scritto con i 3 indici cosa indica?[/quote]
Se $i+j+k=n$ allora $((n),(i\ j\ k)) = (n!)/(i!\ j!\ k!)$. Si chiama coefficiente trinomiale, è una generalizzazione del coefficiente binomiale, e viene fuori nello sviluppo delle potenze del trinomio:
\[
(a + b + c)^n = \sum_{i+j+k=n} \binom{n}{i\ j\ k} a^i b^j c^k\; .
\]

Ancora più in generale:
\[
(a_1 + a_2 + \cdots + a_N)^n = \sum_{i_1+i_2+\cdots +i_N = n} \binom{n}{i_1\ i_2\cdots i_N} a_1^{i_1} a_2^{i_2}\cdots a_N^{i_N}\; ,
\]
in cui:
\[
\binom{n}{i_1\ i_2\cdots i_N} := \frac{n!}{i_1!\ i_2!\cdots i_N!}
\]
si chiama coefficiente multinomiale.