Poli: Singolarità

[Zeus87]

Salve a tutti

Volevo sapere (perchè mi sono accorto di questa cosa) se per trovari i poli basta andare a guardare dove si azzera il denominatore di una funzione...
E l'ordine è dato dalla molteplicità...tipo:

f(z) = 1/z^2

z0 = 0

ordine polo = 2

Oppure è neccessario fare ogni volta la serie di Laurent?

Se non so il punto in cui va fatta la serie di Laurent come faccio a trovare il polo?

[Lorenzo Pantieri]

"Zeus87":Salve a tutti

Volevo sapere (perchè mi sono accorto di questa cosa) se per trovari i poli basta andare a guardare dove si azzera il denominatore di una funzione...
E l'ordine è dato dalla molteplicità...tipo:

f(z) = 1/z^2

z0 = 0

ordine polo = 2

Oppure è neccessario fare ogni volta la serie di Laurent?

Se non so il punto in cui va fatta la serie di Laurent come faccio a trovare il polo?

Una singolarità (cioè un punto di non derivabilità) isolata di una funzione di variabile complessa può essere di tre tipi:
1. Singolarità eliminabile;
2. Polo di ordine n;
3. Singolarità essenziale.

Nel primo caso, la parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent non ha alcun termine. Nel secondo, la parte singolare è costituita da un numero positivo e finito di termini; nel terzo, da un numero infinito di termini.

Esempi, sono, rispettivamente, $\frac{\sin z}{z}$, $\frac{1}{z}$, $\exp{\frac{1}{z}}$.

Quando hai una funzione, per prima cosa determina i punti in cui questa non è olomorfa. Per capire se una singolarità isolata $a$ è un polo di ordine $n$, basta fare il reciproco della funzione e stabilire se $a$ è uno zero di ordine $n$ della funzione.

Ciao,
L.

[Zeus87]

k forse credo di aver capito...

Per esempio:

f(z) = (z - sin z)/z^5

Quindi il denominatore si annulla per z0 = 0

ora sostituisco al numeratore:

0 - sin (0) = 0 che è nullo

Si annulla, faccio la deriva prima:

1 - cos z

Sostituisco:

1 - cos(1) = 0 Ancora nullo

Faccio la derivata seconda:

sin z

Sostituisco:

sin(0) = 0...Ancora nullo

Derivata terza:

cos(z)

Sostituisco: cos(1) che è diverso da zero

Essendo al denominatore di grado 5

faccio 5 - numero della derivata = 5 - 3 = 2

Quindi z0 = 0 è un polo di secondo ordine

Giusto?

[Zeus87]

Perchè se faccio come dici tu sarebbe:

f(z) = (z - sin z)/z^5

faccio il reciproco:

f(z) = z^5/(z - sin z)

polo di ordine 5? -.-

AIUTTTTTTTTTTT

[vecchio1]

per definizione l'ordine del polo si determina calcolando il limite per z->a (che hai individuato come polo) di

(z-a)^n * f(z).

l'n per il quale il limite è diverso da 0, è il grado del polo. nel tuo caso lo 0 è un polo di ordine 2!!!
il limite infatti fa un 1/6.

[Zeus87]

Quindi da quanto ho capito esistono 3 modi:

Serie di laurent
Limite

E l'altro non l'ho ancora capito bene

Ho notato che con quel metodo delle derivate l'ordine del polo mi da sempre giusto...coincidenza? oppure è un metodo anche quello?

[Lorenzo Pantieri]

"Zeus87":Quindi da quanto ho capito esistono 3 modi:

Serie di laurent
Limite

E l'altro non l'ho ancora capito bene

Ho notato che con quel metodo delle derivate l'ordine del polo mi da sempre giusto...coincidenza? oppure è un metodo anche quello?

Ti ricordo che una funzione ha uno zero di ordine $n$ in $a$ se e solo se tutte le sue derivate, fino all'ordine $n-1$ si annullano in $a$, ma la derivata $n$-esima in $a$ è non nulla.

[Zeus87]

Quindi l'esercizio che ho fatto prima è corretto?

[Lorenzo Pantieri]

"Zeus87":Quindi l'esercizio che ho fatto prima è corretto?

Direi di sì, anche se il tuo ragionamento mi pare un po' contorto. Che $z-\sin z$ abbia uno zero del terz'ordine nell'origine si vede (immediatamente) dal suo sviluppo di Taylor, senza bisogno di fare tutte le derivate.

[vecchio1]

so di essere troppo pignolo..
ma esiste un altro tipo di singolarità: quei dannatissimi punti di diramazione!!! (ovviamente mi riferisco al caso di funzioni polidrome)

ciao ciao
il vecchio

[Lorenzo Pantieri]

"vecchio":so di essere troppo pignolo..
ma esiste un altro tipo di singolarità: quei dannatissimi punti di diramazione!!! (ovviamente mi riferisco al caso di funzioni polidrome)

Premesso che in matematica essere precisi è un must... la classificazione che ho riportato delle singolarità isolate (eliminabile, polo, essenziale) è corretta. Naturalmente un punto di diramazione è un caso particolare di singolarità essenziale (anche se esistono singolarità essenziali che non sono punti di diramazione, come l'origine per $e^{1/z}$).

Ciao,
L.

[vecchio1]

eh eh premesso che sono un FISICO... e per me essere precisi è un optional!! :D
cmq...per me l'inghippo sta nel fatto che i punti di diramazione non sono singolarità isolate!!! Per cui la tua classificazione è giusta per singolarità isolate...ma non tiene conto di quelle NON isolate. Detto questo..non sono in grado si sostenere una discussione sulla definizione di singolarità isolata e non...però questo è tutto quanto ricordo...e mi pare un po' strano che una singolarità NON isolata, possa essere un caso particolare di una singolarità essenziale!! Ma magari sbaglio.

Ho cmq provato a cercare sul Rossetti..ma non dice nulla di illuminante in proposito...o almeno..non a quest'ora!!

ciao ciao
il vecchio

[Lorenzo Pantieri]

"vecchio":
cmq...per me l'inghippo sta nel fatto che i punti di diramazione non sono singolarità isolate!!! Per cui la tua classificazione è giusta per singolarità isolate...ma non tiene conto di quelle NON isolate.

La classificazione sulle singolarità isolate l'ho ripresa da Gilardi, Analisi 3, ed è corretta. Naturalmente, esistono anche i punti di diramazione e le singolarità non isolate!

Ciao,
L.

[vecchio1]

perfetto...abbiamo raggiunto il vero..
Spero di non aver creato invece solo confusione..

ciao ciao
il vecchio