Plot di una successione
Edit: avevo dimenticato la potenza $i$. Grazie Gugo!!
Salve ragazzi,
come sapete non sono molto bravo ad usare programmi come Mathematica e simili. Vi chiedo quindi un aiuto per plottare una successione a cui sono particolarmente interessato. La successione, per $n\ge2$, e':
$
a_n=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}b(n,i) (\frac{1-\alpha}{\alpha(n-1)})^i.
$
dove $b(n,i)$ e' il coefficiente binomiale $n$ su $i$ (come diavolo si fa?? I commandi latex non funzionano!) e dove $\alpha$ e' una costante compresa fra $\frac1n$ e $1$. Per cominciare possiamo fissare $\alpha=\frac{1}{2}$, anche perche' immagino che l'andamento qualitativo non dipenda da $\alpha$.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
Valerio
Salve ragazzi,
come sapete non sono molto bravo ad usare programmi come Mathematica e simili. Vi chiedo quindi un aiuto per plottare una successione a cui sono particolarmente interessato. La successione, per $n\ge2$, e':
$
a_n=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}b(n,i) (\frac{1-\alpha}{\alpha(n-1)})^i.
$
dove $b(n,i)$ e' il coefficiente binomiale $n$ su $i$ (come diavolo si fa?? I commandi latex non funzionano!) e dove $\alpha$ e' una costante compresa fra $\frac1n$ e $1$. Per cominciare possiamo fissare $\alpha=\frac{1}{2}$, anche perche' immagino che l'andamento qualitativo non dipenda da $\alpha$.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
Valerio
Risposte
Vale, ma sei sicuro di aver scritto bene \(a_n\)?
Quella successione lì può essere riscritta in forma più semplice usando il binomio di Newton.
Invero:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom{n}{i}\ \frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)} &= -\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\ \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\ (-1)^i\\
&= -\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\ \left( \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\ (-1)^i - 1\right)\\
&= -\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\ \left( (1-1)^n - 1\right)\\
&= \frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}
\end{split}
\]
Quella successione lì può essere riscritta in forma più semplice usando il binomio di Newton.
Invero:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom{n}{i}\ \frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)} &= -\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\ \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\ (-1)^i\\
&= -\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\ \left( \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\ (-1)^i - 1\right)\\
&= -\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\ \left( (1-1)^n - 1\right)\\
&= \frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}
\end{split}
\]
ho dimenticato una potenza! sarebbe $(\frac{1-\alpha}{\alpha(n-1)})^i$. In particolare sarei interessato a capire se sta roba converge ad $1$ o no...
Vabbé, ma è sempre lo stesso.
Infatti, sempre il binomio di Newton importa:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom{n}{i}\ \left(\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\right)^i &= - \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\ \left(\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^i\\
&= - \left(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\ \left(\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^i -1\right)\\
&= 1-\left(1+\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^n
\end{split}
\]
con l'ultimo membro che puoi pure riscrivere come:
\[
1- \left(\frac{\alpha n -1}{\alpha (n-1)}\right)^n
\]
Dalla precedente, riesci a fare i conti espliciti senza problemi: invero:
\[
\begin{split}
\lim_n a_n &= \lim_n 1- \left(1+\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^n \\
&= \lim_n 1-\exp \left( n \log \left(1+\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)\right)\\
&\stackrel{\text{Taylor}}{=} \lim_n 1-\exp \left(\frac{n}{n-1}\ \frac{\alpha -1}{\alpha}\right)\\
&= 1-e^{1-\frac{1}{\alpha}}\; .
\end{split}
\]
Infatti, sempre il binomio di Newton importa:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom{n}{i}\ \left(\frac{1-\alpha}{\alpha (n-1)}\right)^i &= - \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\ \left(\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^i\\
&= - \left(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\ \left(\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^i -1\right)\\
&= 1-\left(1+\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^n
\end{split}
\]
con l'ultimo membro che puoi pure riscrivere come:
\[
1- \left(\frac{\alpha n -1}{\alpha (n-1)}\right)^n
\]
Dalla precedente, riesci a fare i conti espliciti senza problemi: invero:
\[
\begin{split}
\lim_n a_n &= \lim_n 1- \left(1+\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)^n \\
&= \lim_n 1-\exp \left( n \log \left(1+\frac{\alpha -1}{\alpha (n-1)}\right)\right)\\
&\stackrel{\text{Taylor}}{=} \lim_n 1-\exp \left(\frac{n}{n-1}\ \frac{\alpha -1}{\alpha}\right)\\
&= 1-e^{1-\frac{1}{\alpha}}\; .
\end{split}
\]
Sbaglio o c'e' un errore di segno?
Il limite dovrebbe dunque essere
$
1-e^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}
$
Il limite dovrebbe dunque essere
$
1-e^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}
$
"Valerio Capraro":
Sbaglio o c'e' un errore di segno?
L'ho corretto.
"Valerio Capraro":
Il limite dovrebbe dunque essere
$
1-e^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}
$
Esatto... In particolare, se \(n\) è "grande", hai tutto un continuo di \(\alpha\) per cui vale quella relazione lì, cioè \(\alpha \in [1/\nu ,1]\) in cui \(\nu\) è il primo naturale dal quale consideri definita la successione.
Grazie mille, Gugo!
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