Plancherel
A Metodi Matematici ho studiato un teorema che il nostro professore battezzò col nome di "teorema di Plancherel"... successivamente a Teoria dei Segnali e Trasmissione Numerica entrambi i docenti hanno citato lo stesso risultato con nome diverso (Parseval per la precisione)...
"Possibile che sia incerta la paternità del teorema?" mi domandavo... così ho fatto una ricerca su Wikipedia e sono riuscito a capire che c'è una leggera differenza tra i due risultati, anche se non ho capito quale sia... Se gentilmente qualcuno mi illumina...
"Possibile che sia incerta la paternità del teorema?" mi domandavo... così ho fatto una ricerca su Wikipedia e sono riuscito a capire che c'è una leggera differenza tra i due risultati, anche se non ho capito quale sia... Se gentilmente qualcuno mi illumina...
Risposte
La differenza sostanziale dovrebbe essere questa:
per Parseval si ha che $||hatf||=||f||$
per Plancherel si ha $(f,g)=(hatf,hatg)$
o, almeno, io l'ho vista così
per Parseval si ha che $||hatf||=||f||$
per Plancherel si ha $(f,g)=(hatf,hatg)$
o, almeno, io l'ho vista così
qui si dice qualcosa (modulo il fatto che è wiki...):
http://en.wikipedia.org/wiki/Plancherel_theorem
lo cito anche perché si parla di "unitarity" che a Kroldar interessava
http://en.wikipedia.org/wiki/Plancherel_theorem
lo cito anche perché si parla di "unitarity" che a Kroldar interessava
sì, infatti kroldar si riferiva a quello... così però si è creato un corto circuito 
ehm, avevo letto di fretta e non avveo visto il rif a wiki... 
mi sa che è uno dei casi dove risultati similari sono stati dimostrati da persone diverse e allora le attribuzioni diventano un po' "fuzzy"
è anche diffuso il termine: Teorema di Parseval-Plancherel"
mi sa che è uno dei casi dove risultati similari sono stati dimostrati da persone diverse e allora le attribuzioni diventano un po' "fuzzy"
è anche diffuso il termine: Teorema di Parseval-Plancherel"
allora plancherel ha fatto veramente qualcosa
, grande!(studio nella 'sua' uni, ma nn sapevo fosse conosciuto anche altrove
)
mi ero interessato a questa domanda un pò di tempo fa
v. anche il mio topic: https://www.matematicamente.it/forum/pre ... el&start=0
e la differenza tra il teorema di Plancherel e Parseval è sostanzialmente quella che aveva dato luca.barletta in questo topic.
Dato che non era stata citata alcuna fonte ufficiale, ne ho trovata una e ve la segnalo: B.N.M. Clarke, Fourier Theory, Macquarie University, Department of Matematics.
Ci tenevo a darvi conferma
v. anche il mio topic: https://www.matematicamente.it/forum/pre ... el&start=0
e la differenza tra il teorema di Plancherel e Parseval è sostanzialmente quella che aveva dato luca.barletta in questo topic.
Dato che non era stata citata alcuna fonte ufficiale, ne ho trovata una e ve la segnalo: B.N.M. Clarke, Fourier Theory, Macquarie University, Department of Matematics.
Ci tenevo a darvi conferma
Se può servire, dico come la pensa un libro di Analisi Armonica: nel caso delle serie di Fourier, se $f in L^2$ e rispetta le ipotesi del teorema di Riesz-Fischer, allora $sum|a_n(f)|^2=||f||_2^2$. Quest'ultima uguaglianza è chiamata relazione di Parseval, caso particolare della disuguaglianza di Bessel.
Nel caso della trasformata di Fourier, il teorema di Plancherel stabilisce che la trasformata di Fourier è un'isometria di $L^2$ su se stesso, attraverso due fatti: il primo è il noto $||f||_2=||F||_2$, ovvero: esiste un sottospazio denso di $L^2$ contenuto in $L^1$ su cui la trasformata di Fourier è isometrica. Il secondo fatto è che l'immagine di questo sottospazio è densa in $L^2$. Infatti, se $I$ è l'isometria e $I^(**)$ è l'operatore aggiunto ($langleIf,h rangle=langle f,I^(**)hrangle$), un semplice calcolo mostra che $I^(**)$ è la trasformata stessa, e quindi un'isometria; il suo nucleo è banale, e quindi la sua immagine è densa. Tutto ciò è valido se si normalizza la trasformata di Fourier, introducendo la trasformata di Plancherel: $F(y)=1/(sqrt(2 pi)) int_(-oo)^(oo) f(x) e^(-i xy)dx$ (abitualmente usata dai fisici).
Dopo avervi confuso ulteriormente le idee, vi saluto.
Nel caso della trasformata di Fourier, il teorema di Plancherel stabilisce che la trasformata di Fourier è un'isometria di $L^2$ su se stesso, attraverso due fatti: il primo è il noto $||f||_2=||F||_2$, ovvero: esiste un sottospazio denso di $L^2$ contenuto in $L^1$ su cui la trasformata di Fourier è isometrica. Il secondo fatto è che l'immagine di questo sottospazio è densa in $L^2$. Infatti, se $I$ è l'isometria e $I^(**)$ è l'operatore aggiunto ($langleIf,h rangle=langle f,I^(**)hrangle$), un semplice calcolo mostra che $I^(**)$ è la trasformata stessa, e quindi un'isometria; il suo nucleo è banale, e quindi la sua immagine è densa. Tutto ciò è valido se si normalizza la trasformata di Fourier, introducendo la trasformata di Plancherel: $F(y)=1/(sqrt(2 pi)) int_(-oo)^(oo) f(x) e^(-i xy)dx$ (abitualmente usata dai fisici).
Dopo avervi confuso ulteriormente le idee, vi saluto.
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