Piramide equilatera
Mi sto scervellando da un po' per ricavare la relazione che lega l'altezza di una piramide regolare triangolare equilatera con base di lato unitario, all'angolo formato da due delle sue facce.
L'angolo vale ovviamente \(\displaystyle \pi \) per \(\displaystyle h = 0 \) e tende a \(\displaystyle \frac{\pi}{3} \) per \(\displaystyle h \rightarrow \infty \), ma qual'è la relazione?
L'angolo vale ovviamente \(\displaystyle \pi \) per \(\displaystyle h = 0 \) e tende a \(\displaystyle \frac{\pi}{3} \) per \(\displaystyle h \rightarrow \infty \), ma qual'è la relazione?
Risposte
L'angolo misura $ 2 arctan (sqrt(3h^2+1)/(3h)) $.
Però hai sbagliato sezione, questa è quella di fisica. Dovresti chiedere ad un moderatore/amministratore di spostare questa discussione.
Ciao
Però hai sbagliato sezione, questa è quella di fisica. Dovresti chiedere ad un moderatore/amministratore di spostare questa discussione.
Ciao
Grazie orsoulx, quadra.
Riguardo alla sezione sbagliata... ho avuto anch'io il dubbio, ma non essendo un problema universitario (gli anni dell'università sono passati da un bel po'... sic!), non sapevo dove infilarlo.
Con l'equazione risolvo il problema tecnico al quale sto lavorando, ma se non ti è troppo d'impiccio, mi dici dove trovo la soluzione analitica?
Grazie.
Riguardo alla sezione sbagliata... ho avuto anch'io il dubbio, ma non essendo un problema universitario (gli anni dell'università sono passati da un bel po'... sic!), non sapevo dove infilarlo.
Con l'equazione risolvo il problema tecnico al quale sto lavorando, ma se non ti è troppo d'impiccio, mi dici dove trovo la soluzione analitica?
Grazie.
"LucianoD":
mi dici dove trovo la soluzione analitica?
Boh! Può darsi fra gli esercizi di qualche testo di geometria. Ti posso tratteggiare il percorso che ho seguito per arrivare a quel risultato. Per determinare l'ampiezza di un angolo diedro può andar bene intersecarlo con un piano perpendicolare allo spigolo: l'intersezione sarà un angolo in questo piano. Detti A, B, C e V i vertici della piramide e G il centro del triangolo di base ( G è anche il piede dell'altezza); il piano $ \alpha $ passante per G e perpendicolare allo spigolo CV, interseca CV in un punto H e la base in un segmento A'B' che è parallelo ad AB ed ha G come punto medio, dunque il triangolo A'B'C è simile ad ABC ed essendo $ GC=sqrt(3)/3 $ (2/3 dell'altezza del triangolo equilatero), sarà anche $ A'B'=2/3 rightarrow A'G=1/3 $. Resta da determinare GH, che appartiene al piano per V, G e C (uno dei piani di simmetria della piramide). VGC è un triangolo rettangolo con i cateti $ VG=h $ e $ GC= sqrt(3)/3 $, l'altezza relativa all'ipotenusa sarò allora $ GH=h/sqrt(3h^2+1) $. Nel piano $ \alpha $ abbiamo allora il triangolo isoscele $ A'B'H $ di cui $ A'GH $ ne è una metà, dunque un triangolo rettangolo di cui conosciamo i due cateti...
Ciao
Grazie orsoulx, era quello che cercavo. 
Prego, figurati.
Se intendi postare altre questioni di geometria, penso che la sezione più adatta sia quella omonima, oppure se ritieni il quesito troppo elementare "Secondarie di secondo grado".
Ciao
Se intendi postare altre questioni di geometria, penso che la sezione più adatta sia quella omonima, oppure se ritieni il quesito troppo elementare "Secondarie di secondo grado".
Ciao
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