Piccolo vuoto di memoria
Calcolando
$\lim_{x \to \-infty}(cosx+1)/(sinx+x)$
e per verificare che esiste il limite ad un certo punto mi trovo a dover fare il reciproco di $x+sinx<0$ ..... ma qui sono nati i miei dubbi... qual è il reciproco??? semplicemente $1/(sinx+x) >0$ ?
$\lim_{x \to \-infty}(cosx+1)/(sinx+x)$
e per verificare che esiste il limite ad un certo punto mi trovo a dover fare il reciproco di $x+sinx<0$ ..... ma qui sono nati i miei dubbi... qual è il reciproco??? semplicemente $1/(sinx+x) >0$ ?
Risposte
Sei sicuro che sia $x->-oo$ perchè il limite per $x->oo$ delle funzioni seno e coseno non esiste.
@jollothesmog: Visto che devi passare al limite per [tex]$x\to -\infty$[/tex], puoi sempre pensare che [tex]$x\leq -2$[/tex], quindi...
@Lorin:
In realtà che quei due limiti non esistano ti importa davvero poco...
@Lorin:
"Lorin":
Sei sicuro che sia $x->-oo$ perchè il limite per $x->oo$ delle funzioni seno e coseno non esiste.
In realtà che quei due limiti non esistano ti importa davvero poco...
@gugo82 non ho ben capito quel -2
@lorin sicuro...
@lorin sicuro...
Il risultato è $0^-$?
sono esercizi scritti alla lavagna dal prof e lasciati per casa.... cmq credo guardando il grafico di sì
"gugo82":
@Lorin:
[quote="Lorin"]Sei sicuro che sia $x->-oo$ perchè il limite per $x->oo$ delle funzioni seno e coseno non esiste.
In realtà che quei due limiti non esistano ti importa davvero poco...
[/quote]In che senso?
io pensavo di applicare la regola "infinitesimo per limitato=infinitesimo" in quanto il numeratore è limitato e il secondo tende a $-infty$
@Lorin:
Utilizzi un teorema che, in buona sostanza, dice: se $g$ è una funzione limitata e $f$ una funzione divergente per $x -> x_0$, allora $f + g$ diverge per $x -> x_0$. Nel tuo caso il numeratore è limitato, quindi...
Utilizzi un teorema che, in buona sostanza, dice: se $g$ è una funzione limitata e $f$ una funzione divergente per $x -> x_0$, allora $f + g$ diverge per $x -> x_0$. Nel tuo caso il numeratore è limitato, quindi...
dovrebbe essere zero perchè $-infty$ è al denominatore.... l'unico problema è dimostrare ciò analiticamente e nel dettaglio... mi spiego... il numeratore risulta $0<=cosx<=2$ e il denominatore $x+senx<0$
ora i miei dubbi sono... se il coseno è 0 tutto va a rotoli
nel numeratore casi positivi e al denominatore casi negativi.... infatti chiedevo se il reciproco del denomitore fosse quello della domanda iniziale per tale motivo
ora i miei dubbi sono... se il coseno è 0 tutto va a rotoli
nel numeratore casi positivi e al denominatore casi negativi.... infatti chiedevo se il reciproco del denomitore fosse quello della domanda iniziale per tale motivo
"jollothesmog":
dovrebbe essere zero perchè $-infty$ è al denominatore.... l'unico problema è dimostrare ciò analiticamente e nel dettaglio... mi spiego... il numeratore risulta $0<=cosx<=2$ e il denominatore $x+senx<0$
ora i miei dubbi sono... se il coseno è 0 tutto va a rotoli
nel numeratore casi positivi e al denominatore casi negativi.... infatti chiedevo se il reciproco del denomitore fosse quello della domanda iniziale per tale motivo
Analiticamente? Guarda che non ti serve!
Basta constatare che il denominatore diverge e che il numeratore è una funzione limitata; questo è sufficiente a concludere che il limite del rapporto è $0$.
$k(x)$ una funzione limitata, $f(x)$ tale che $lim_(x -> x_0) f(x) = -oo$
Allora $lim_(x -> x_0) (k(x))/(f(x)) = 0$.
No joll... la cosa è come dici senza il problema di quanto valga il numeratore. Visto che $-1\leq\cos x\leq 1,\ -1\leq\sin x\leq 1$ avrai anche
[tex]$0\leq\cos x+1\leq 2,\qquad x-1\leq\sin x+x\leq x+1,\qquad \frac{1}{x+1}\leq\frac{1}{sin x+x}\leq\frac{1}{x-1}$[/tex]
da cui segue, considerando che se $x\to-\infty$ puoi pensare a tutti i termini dell'ultima disequazione come negativi, che
[tex]$\frac{2}{x-1}\leq\frac{\cos x+1}{\sin x+x}\leq 0$[/tex]
A questo punto usi il Teorema dei Carabinieri (confronto) per affermare che il limite tende a $0^-$
[tex]$0\leq\cos x+1\leq 2,\qquad x-1\leq\sin x+x\leq x+1,\qquad \frac{1}{x+1}\leq\frac{1}{sin x+x}\leq\frac{1}{x-1}$[/tex]
da cui segue, considerando che se $x\to-\infty$ puoi pensare a tutti i termini dell'ultima disequazione come negativi, che
[tex]$\frac{2}{x-1}\leq\frac{\cos x+1}{\sin x+x}\leq 0$[/tex]
A questo punto usi il Teorema dei Carabinieri (confronto) per affermare che il limite tende a $0^-$
perfetto... grazie ciampax...era proprio quello che mi interessava!
rileggendo mi è sorto un dubbio... come si passa all'ultimo passaggio?? ossia all'ultima disequazione
Devi ragionare un po' sulle disequazioni che ho scritto sopra e tenere presente che, se $a0$ e $ac>bc,\ c<0$.
Se $a<0$ anche $1/a<0$, non è che perché ho fatto il reciproco allora ha cambiato di segno.
"@melia":
Se $a<0$ anche $1/a<0$, non è che perché ho fatto il reciproco allora ha cambiato di segno.
Ma ce l'hai con me?
@ciampax grazie per la risposta, hai azzeccato il mio dubbio e ora ho capito.... era un po il problema che inizialmente avevo proposto, ossia il fatto che il numeratore fosse positivo e il denominatore negativo e non sapevo come andare avanti
@melia grazie, ma avevo già capito che aveva fatto il reciproco, non avevo capito l'ultimissimo passaggio scritto.
@melia grazie, ma avevo già capito che aveva fatto il reciproco, non avevo capito l'ultimissimo passaggio scritto.
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