Piccolo particolare in una serie numerica

[Darèios89]

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(\cos(x))^n}{n+\log(n)}[/tex]

Dovrebbe essere a termini di segno variabile.

Ho pensato che:

[tex]|\frac{(\cos(x))^n)}{n+\log(n)}|\leq |(\cos(x))^n|[/tex]

E allora è maggiorata da una serie geometrica, quando [tex]-1<\cos(x)<1[/tex] converge, diverge se [tex]\cos(x)=1[/tex] e oscilla se [tex]\cos(x)=-1[/tex]

Ora il libro dice che converge se [tex]x\neq 2k\pi[/tex] e diverge se [tex]x=2k\pi[/tex]

Ora sulla divergenza ci sono, ma non sul resto, perchè converge se diverso da [tex]2k\pi[/tex]?

Dato che a -1 oscilla non dovrei dire che deve essere diverso da [tex]k\pi[/tex]?

[Gatto891]

Quando $cosx = -1$ la serie diventa [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+\log(n)}[/tex] che converge per il criterio di Leibniz. Il resto mi sembra giusto ma devi spendere due parole sul perchè la serie diverge per $cosx = 1$

[dissonance]

MA quella disuguaglianza non ti informa in alcun modo sulla divergenza della serie. Sulla convergenza assoluta si, su tutto il resto no. Rifletti: se dici che il termine generale di una serie è più piccolo del termine generale di una serie divergente, puoi concludere qualcosa sulla serie originaria?

[Darèios89]

Yes, avete ragione tutti e due

Per quanto riguarda la divergenza ci siamo, converge per il criterio di Leibnitz, se invece il coseno è uguale ad 1 forse si può usare il criterio degli infinitesimi e calcolare il limite di:

[tex]n^\alpha\frac{1}{n+\log(n)}[/tex]

Che per [tex]\alpha=1[/tex] fa 1, e la serie dovrebbe divergere positiviamente...