Piccolo limite
Ciao a tutti, volevo chiedere un gentile aiuto per questo limite che mi sta facendo disperare
$ lim_(x -> 0) (sinx/x)^(1/x^2) $
Ho provato a ricondurmi a qualche forma notevole senza successo.
Ho provato poi a ricondurmi alla forma $ e^ln((sinx/x)^(1/x^2)) $ invano. Il limite calcolato con un grafico dovrebbe essere pari a $ e^(-1/6) $.
Come potrei fare?
$ lim_(x -> 0) (sinx/x)^(1/x^2) $
Ho provato a ricondurmi a qualche forma notevole senza successo.
Ho provato poi a ricondurmi alla forma $ e^ln((sinx/x)^(1/x^2)) $ invano. Il limite calcolato con un grafico dovrebbe essere pari a $ e^(-1/6) $.
Come potrei fare?
Risposte
Ciao. Hai provato a sviluppare__$sin x$__con McLaurin fino all'ordine $3$ ?
Ora si 
adesso dovrebbe ridare... ti ringrazio.. non avevo pensato di svilupparlo fino all'ordine 3 ma solo all'ordine 1
adesso dovrebbe ridare... ti ringrazio.. non avevo pensato di svilupparlo fino all'ordine 3 ma solo all'ordine 1
Da qualche parte in questo forum ricordo d'aver letto una dimostrazione lunga ma interessante,
che non faceva uso degli sviluppi di Taylor nè del teorema i De L'Hospital,
del fatto che $EElim_(x to o)(x -sen x)/(x^3)=1/6$ (1);
preso per buono questo fatto,indipendentemente da come ci si arriva,avrai che
$EElim_(x to 0)((sen x)/x)^(1/(x^2))=lim_(x to 0)(1+1/(x/(sen x-x)))^(1/(x^2))=lim_(x to 0)[(1+1/(x/(sen x-x)))^(x/(sen x-x))]^((sen x-x)/(x^3))=e^(-1/6)$:
ciò perchè,posto $t(x)=x/(sen x-x)$,avrai in conseguenza d'un noto limite notevole che $EElim_(x to 0)| t(x)|=lim_(x to 0)|1/((sen x)/x-1)|=+oo rArrEElim_(x to 0)(1+1/(x/(sen x-x)))^(x/(sen x-x))=lim_(t to oo)(1+1/t)^t=e$,
ed in forza della (1)..
Saluti dal web.
che non faceva uso degli sviluppi di Taylor nè del teorema i De L'Hospital,
del fatto che $EElim_(x to o)(x -sen x)/(x^3)=1/6$ (1);
preso per buono questo fatto,indipendentemente da come ci si arriva,avrai che
$EElim_(x to 0)((sen x)/x)^(1/(x^2))=lim_(x to 0)(1+1/(x/(sen x-x)))^(1/(x^2))=lim_(x to 0)[(1+1/(x/(sen x-x)))^(x/(sen x-x))]^((sen x-x)/(x^3))=e^(-1/6)$:
ciò perchè,posto $t(x)=x/(sen x-x)$,avrai in conseguenza d'un noto limite notevole che $EElim_(x to 0)| t(x)|=lim_(x to 0)|1/((sen x)/x-1)|=+oo rArrEElim_(x to 0)(1+1/(x/(sen x-x)))^(x/(sen x-x))=lim_(t to oo)(1+1/t)^t=e$,
ed in forza della (1)..
Saluti dal web.
Sospettavo che fossi stato proprio tu a postarla,
o almeno a partecipare alla discussione in cui era saltata fuori quella verifica tanto lunga quanto elegante
(e tutte le interessanti conclusione che la precedono e seguono in quel documento..):
sarà stato Aprile o Maggio,direi..
Saluti dal web.
o almeno a partecipare alla discussione in cui era saltata fuori quella verifica tanto lunga quanto elegante
(e tutte le interessanti conclusione che la precedono e seguono in quel documento..):
sarà stato Aprile o Maggio,direi..
Saluti dal web.
Grazie mille a tutti
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