Piccolo integrale indefinito

[yex1]

Buongiorno,

In questi ultimi giorni mi sono imbattuto a uno dei "bellissimi" integrali del mio prof. di analisi che è il seguente:

$\ int acrsen^2 dx$

Ora per intuizione,lo potrei svolgere in questo modo:

$\ int acrsen^2 dx=\ int arcsenx* arcsenx dx $

lo svolgo per parti

$arcsenxsqrt(1-x^2)+xarcsen^2x -int (xarcsenx)/(sqrt(1-x^2))dx$

Ora come dovrei procedere?

Sarebbe giusto farlo per parti, considerando $f(x)=arcsenx$ e $g(x)=x/(sqrt(1-x^2))$?

Perchè se fosse così,avrei questo:

$arcsenxsqrt(1-x^2)+xarcsen^2x-(-arcsenx*sqrt(1-x^2)+x)+c =$

$ = 2arcsenxsqrt(1-x^2)+ xarcsen^2x - x +c $

ma non so sinceramente se è giusto farlo o meno

grazie in anticipo

[Mrs92]

se non sbaglio la derivata di arcoseno non presenta x al numeratore.

[yex1]

si perchè la sua derivata è $ = 1/sqrt(1-x^2)$

[ciampax]

"yex":Ora per intuizione,lo potrei svolgere in questo modo:

$\ int acrsen^2 dx=\ int arcsenx* arcsenx dx $

lo svolgo per parti

$arcsenxsqrt(1-x^2)+xarcsen^2x -int (xarcsenx)/(sqrt(1-x^2))dx$

Non capisco come hai fatto ad ottenere questa roba per parti: hai usato

$f(x)=\arcsin x,\ g'(x)=\arcsin x$?

E allora, di grazia, come hai calcolato $g(x)$? Se vuoi svolgerlo per parti, la cosa migliore da fare è ricondurti a questa espressione

$\int\arcsin^2 x\ dx=x\cdot\arcsin^2 x-\int {2x\arcsin x}/{\sqrt{1-x^2}}\ dx$

Ora, nel nuovo integrale puoi osservare che $x/\sqrt{1-x^2}=-(\sqrt{1-x^2})'$, per cui, procedendo ancora per parti, si ha

$=x\cdot\arcsin^2 x+2[\arcsin x\cdot\sqrt{1-x^2}-\int{\sqrt{1-x^2}}/{\sqrt{1-x^2}}\ dx]=x\cdot\arcsin^2 x+2\arcsin x\cdot\sqrt{1-x^2}-2x+c$