Piccolo dubbio sul modulo dei numeri complessi

[Sk_Anonymous]

Ragazzi, sto studiando analisi 1 e ho un piccolo dubbio sul significato del modulo di un numero complesso. Innanzitutto il modulo o valore assoluto è un operatore matematico che permette di positivizzare un numero, quindi -2 in valore assoluto è uguale a 2 e così via. Detto questo, il salsa pagani dice che si chiama modulo di z=a+ib, e si indica con |z|, il numero reale non negativo [radice quadrata di(a^2 + b^2)]. Quello che voglio capire è perchè il modulo di z, cioè |z|=rad(a^2 + b^2)? Nel caso dei numeri complessi, il termine "modulo" ha il significato di valore assoluto o no? I numeri complessi possono essere rappresentati con dei vettori, però non mi è chiaro se il modulo significa valore assoluto. Grazie mille

[Akuma1]

ciao, sono 2 cose diverse. il modulo di un numero reale è per l'appunto un il valore assoluto. per un numero complesso invece non ha senso il significato di positivo o negativo essendo una coppia di numeri reali, quindi con la parola modulo si rappresenta la lunghezza del vettore associato al numero complesso, cioè la distanza del punto rappresentato, nel piano di Gauss, dall'origine.
ora questa è la mia interpretazione da ingegnere, poi non so se sia sufficientemente rigorosa per un matematico...

[Sk_Anonymous]

Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Effettivamente quello che hai detto mi suona bene, però un attimo di riflessione mi ha portato a dedurre che il concetto di modulo o valore assoluto può essere applicato solo ad un insieme ordinato, in cui cioè si può stabilire se un numero è più grande o più piccolo di un altro. L'insieme dei numeri complessi, invece, non è un campo ordinato, in quando non ha senso chiedersi quale numero sia più grande dell'altro, di conseguenza nell'insieme C non dovrebbe poter essere applicabile il concetto di modulo. Ma, siccome un numero complesso può essere rappresentato da un vettore la cui DISTANZA DALL'ORIGINE è un numero reale, allora il concetto di valore assoluto in C si può applicare solo al valore della distanza del punto dall'origine degli assi del piano di Gauss. Siccome tale distanza è espressa da un numero reale, a quest'ultimo si può applicare il valore assoluto e renderlo sempre positivo. Questa è la mia interpretazione, però gradirei che qualcuno confermasse l'esattezza di quanto è stato detto. Grazie

[Akuma1]

si giusto però fai attenzione che il modulo è un operatore da $C$ in $R$ che è ordinato. dicendo un po' le cose alla buona, appena fai il modulo di un numero complesso "esci" dall'insieme dei numeri complessi ed entri in quello dei reali.
tieni anche conto che infiniti numeri complessi hanno lo stesso modulo quindi non credo abbia molto senso fare dei confronti tra numeri complessi in base al loro modulo e basta.

[Sk_Anonymous]

altre opinioni? Riassumendo, il modulo di un numero complesso c'entra qualcosa con il valore assoluto?

[Akuma1]

"Soscia":altre opinioni? Riassumendo, il modulo di un numero complesso c'entra qualcosa con il valore assoluto?

ma la matematica non è un'opinione
ti ripeto io ho fatto un po' il discorso da ingegnere, credo che un matematico sappia spianare ogni dubbio a riguardo in modo rigoroso.

[gugo82]

"Soscia":altre opinioni? Riassumendo, il modulo di un numero complesso c'entra qualcosa con il valore assoluto?

Certo che c'entra!

Prendi [tex]$z=x+\imath\ y \in \mathbb{C}$[/tex], allora per definizione è [tex]$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$[/tex].
In particolare se [tex]$z$[/tex] è reale, ossia se [tex]$y=0$[/tex] e conseguentemente [tex]$z=x$[/tex], si ha [tex]$|z|=\sqrt{x^2}=|x|$[/tex], ove [tex]$|x|$[/tex] denota il valore assoluto del numero reale [tex]$x$[/tex].
Quindi il modulo complesso è un prolungamento a [tex]$\mathbb{C}$[/tex] della funzione valore assoluto definita in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].

[Sk_Anonymous]

ok, ma quello che ho dettonnel terzo post è giusto?