Piccolo dubbio su un limite semplice
Ciao a tutti! ho un dubbio nel risolvere un semplicissimo limite.. e spero qualcuno me lo tolga! il limite in questione è $ lim_(h -> 0) (1/h) $ . Il limite di una costante fratto qualcosa che tende a 0, non fa infinito?
Risposte
sì, va infinito, prova a pensare al grafico dell'iperbole equilatera 
Sì ma bisogna pensare anche ai segni. Nei limiti non esiste "infinito", esistono $+oo$ e $-oo$. Quant'è il limite da destra? E quello da sinistra?
"francescop21":
sì, va infinito, prova a pensare al grafico dell'iperbole equilatera
sì sì, ho capito, grazie mille, mi era solo venuto un dubbio..
per queste cose esiste il dominio della funzione ; mi spiego meglio : se hai un log(x) e vuoi considerare gli estremi di certo calcolerai il limite per x--> 0 da destra perchè a sinistra la funzione non esiste e per più infinito ; il segno del limite puoi trovarlo attraverso il segno della funzione
"pimpi206":
[quote="francescop21"]sì, va infinito, prova a pensare al grafico dell'iperbole equilatera
sì sì, ho capito, grazie mille, mi era solo venuto un dubbio..[/quote]
L'hai letto il mio messaggio? Per inciso, il limite in 0 non esiste (esistono il limite destro e il limite sinistro ma sono diversi).
"yellow":
L'hai letto il mio messaggio? Per inciso, il limite in 0 non esiste (esistono il limite destro e il limite sinistro ma sono diversi).
però si può scrivere $lim_(x -> 0) 1/x = \infty$ e non è sbagliato, significa che la funzione tende all'infinito da entrambe le parti, ma non si considera il segno
Dove hai trovato "approvata" una notazione di questo tipo? A me sembra fuorviante e non la accetterei mai.
Io ho visto talvolta [tex]$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$[/tex] per indicare [tex]$x \to \pm \infty$[/tex] ovviamente (anche se preferisco scriverlo per esplicito). Ma quella mai, anche perché così non si capisce quando va a [tex]$+\infty$[/tex] e quando a [tex]$-\infty$[/tex].
Se volessi scriverlo in modo più compatto, scriverei piuttosto [tex]$\lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{1}{x} = \pm \infty$[/tex].
Se volessi scriverlo in modo più compatto, scriverei piuttosto [tex]$\lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{1}{x} = \pm \infty$[/tex].
@ yellow
Dipende da come si amplia la retta dei numeri reali.
Se vuoi mantenere l'ordinamento devi necessariamente aggiungere i due punti $-oo$ e $+oo$, ma nulla vieta di ampliare la retta con un solo punto $oo$, naturalmente in tal caso si perde l'ordinamento perchè il sup e l'inf dei reali coincidono.
Dipende da come si amplia la retta dei numeri reali.
Se vuoi mantenere l'ordinamento devi necessariamente aggiungere i due punti $-oo$ e $+oo$, ma nulla vieta di ampliare la retta con un solo punto $oo$, naturalmente in tal caso si perde l'ordinamento perchè il sup e l'inf dei reali coincidono.
Ma sì è chiaro che dipende da convenzioni/scelte/definizioni. Però a livello di limiti che senso ha perdere un'informazione importante come il segno?
Comunque forse non ho capito nemmeno benissimo cosa intendi per ampliamento della retta. Immagino un insieme del tipo, ad esempio, $RR^oo=RRuu{+-oo}$ che permette, forse con un po' di abuso di notazione (l'insieme non mi sembra ben definito), di condensare le definizioni di estremo superiore/inferiore e di limite. Non l'ho mai visto impostato veramente in questa maniera però.
Comunque forse non ho capito nemmeno benissimo cosa intendi per ampliamento della retta. Immagino un insieme del tipo, ad esempio, $RR^oo=RRuu{+-oo}$ che permette, forse con un po' di abuso di notazione (l'insieme non mi sembra ben definito), di condensare le definizioni di estremo superiore/inferiore e di limite. Non l'ho mai visto impostato veramente in questa maniera però.
"@melia":Questa costruzione si chiama compattificazione di Alexandroff e funziona con qualsiasi spazio topologico di Hausdorff e localmente compatto; in particolare si può applicare a tutti gli spazi $RR^n$. In questi casi la teoria si sviluppa come segue.
@ yellow
Dipende da come si amplia la retta dei numeri reali.
Se vuoi mantenere l'ordinamento devi necessariamente aggiungere i due punti $-oo$ e $+oo$, ma nulla vieta di ampliare la retta con un solo punto $oo$, naturalmente in tal caso si perde l'ordinamento perchè il sup e l'inf dei reali coincidono.
Si introduce l'insieme $RR_\infty^n=RR^n uu \{\infty\}$. Al momento $infty$ è solo un simbolo. Si definisce poi una famiglia $tau_infty$ di parti di $RR_\infty^n$ contenente tutti gli aperti di $RR^n$ e tutti gli insiemi di tipo $RR_\infty^n - K$, dove $K$ è un sottoinsieme compatto di $RR^n$. Si verifica che questa famiglia $tau_infty$ è una topologia su $RR_infty^n$ che lo rende spazio di Hausdorff e compatto.
Nel caso $n=1$, risulta che $RR_infty$ è omeomorfo alla circonferenza; nel caso $n=2$, $RR_infty^2$ è omeomorfo alla sfera. Per esempio vediamo la circonferenza:
[img]http://images.planetmath.org:8080/cache/objects/7110/js/img1.png[/img]
Si fa corrispondere ogni punto $P' \in RR$ ad un punto $P$ sulla circonferenza mediante questa costruzione geometrica. In questa maniera si associa ad ogni punto della retta reale uno ed un solo punto sulla circonferenza e l'unico punto che resta scoperto è il polo nord $N$. Questo è infatti il punto all'infinito, ed è così formalizzata l'idea suggerita da @melia di "sup e inf dei reali che coincidono": infatti, vedendola così la retta reale non è altro che una circonferenza tagliata in un punto e spianata.
Quindi a livello teorico il simbolo $infty$, senza segno, ha un significato topologico preciso. Ma è chiaro che chi calcola limiti semplicemente omettendo il segno davanti a $+infty, -infty$ incorre solo in errori: infatti a livello di calcolo questa costruzione topologica NON si applica.
Sì ho visto quella costruzione sul Sernesi nel capitolo relativo agli spazi proiettivi! Senza discussioni topologiche però, che non ho i mezzi per capire ma che per quello che ci serve sono proprio la parte più importante. interessante che quindi ad esempio la retta proiettiva sia un insieme topologicamente "buono" (?), me lo ricorderò per il futuro (poche settimane e si comincia!).
Comunque, se si potesse formalizzare un insieme del genere ma con i due infiniti provvisti di segno, potrebbe anche risultare una costruzione "utile" o quantomento interessante per l'analisi.
Comunque, se si potesse formalizzare un insieme del genere ma con i due infiniti provvisti di segno, potrebbe anche risultare una costruzione "utile" o quantomento interessante per l'analisi.
Ma certo che si può formalizzare, ed è anche più semplice. Introduciamo l'insieme $RR^star=RRuu {+infty, -infty}$. Dotiamo questo insieme di una struttura totalmente ordinata:
$x<=y$ se e solo se $x=-infty$ oppure $y=+infty$ oppure $x, y \in RR$ e $x<=y$.
A questo punto abbiamo un insieme ordinato e quindi una topologia, quella generata dagli intervalli aperti. Risulta che $RR^star$ è uno spazio topologico compatto, omeomorfo a $[0, 1]$.
P.S.: Ah scusa non avevo letto con attenzione e non mi ero accorto che ancora non conosci la topologia. Vabbé, comunque sono cose molto semplici, tu sei in gamba, appena vedrai i fondamentali dell'argomento capirai al volo. Il concetto è: è chiaro che in un certo senso un insieme come $[-infty, infty]$ e un insieme come $[0, 1]$ sono "molto simili". Certo, non in un senso metrico: nel primo insieme ci sono distanze infinite, nel secondo no. Ma se indeboliamo un po' le richieste, otteniamo una equivalenza sufficientemente valida per molti scopi. E' un po' l'idea stessa alla base della topologia.
$x<=y$ se e solo se $x=-infty$ oppure $y=+infty$ oppure $x, y \in RR$ e $x<=y$.
A questo punto abbiamo un insieme ordinato e quindi una topologia, quella generata dagli intervalli aperti. Risulta che $RR^star$ è uno spazio topologico compatto, omeomorfo a $[0, 1]$.
P.S.: Ah scusa non avevo letto con attenzione e non mi ero accorto che ancora non conosci la topologia. Vabbé, comunque sono cose molto semplici, tu sei in gamba, appena vedrai i fondamentali dell'argomento capirai al volo. Il concetto è: è chiaro che in un certo senso un insieme come $[-infty, infty]$ e un insieme come $[0, 1]$ sono "molto simili". Certo, non in un senso metrico: nel primo insieme ci sono distanze infinite, nel secondo no. Ma se indeboliamo un po' le richieste, otteniamo una equivalenza sufficientemente valida per molti scopi. E' un po' l'idea stessa alla base della topologia.
Eh...la cosa che mi fa strano è definire un insieme con elementi creati dal nulla. Ma d'altronde anche gli insiemi numerici tutto sommato sono fatti così. E se non lo sono la loro costruzione è puramente formale (ho visto una volta quella dei naturali in teoria degli insiemi) e fa capire ancora meglio quanto alla fine quello che conta sono le proprietà che gli elementi hanno all'interno dell'insieme. Magari invece di crearli dal nulla si può dire che $-oo={triangoli$ $di$ $RR^2}$, $+oo=Erf$ (funzione degli errori), tanto poi quello che conta è l'ordinamento che si definisce! Sto provando a estremizzare il concetto, ha senso? 
Ho modificato io dopo!
"dissonance":
P.S.: Ah scusa non avevo letto con attenzione e non mi ero accorto che ancora non conosci la topologia.
Ho modificato io dopo!
Ripesco con qualche nozione di topologia, e ringrazio ancora dissonance. 
Quindi una definizione del genere se non sbaglio dovrebbe coincidere con quella classica:
Sia $f: IsubRR->RR$.
Diciamo che esiste il limite per $x->ain[-oo,+oo]$ di $f(x)$ ed è uguale a $lin[-oo,+oo]$ se, per ogni intorno $L$ di $l$, esiste un intorno $A$ di $a$ tale che $InnA\\{a}$ viene mandato in $L$ da $f$.
Che brutta cosa.
Quindi una definizione del genere se non sbaglio dovrebbe coincidere con quella classica:
Sia $f: IsubRR->RR$.
Diciamo che esiste il limite per $x->ain[-oo,+oo]$ di $f(x)$ ed è uguale a $lin[-oo,+oo]$ se, per ogni intorno $L$ di $l$, esiste un intorno $A$ di $a$ tale che $InnA\\{a}$ viene mandato in $L$ da $f$.
Che brutta cosa.
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