Piccolo dubbio su integrali doppi e tripli
Ciao ragazzi!
non essendo un'esperta di analisi matematica (anzi) vorrei chiedervi questa cosa, che a me non torna (diciamo per l'intuizione).
ad una lezione non tanto matematica il mio prof scrisse:
$psi:=f(x,y)$
$nabla^2 psi=-2$
$psi=0$ sul bordo esterno
$psi=Cost i$ sulle lacune interne (dove i = n.lacuna)
poi praticamente arriva all'integrale $int_{A}psi dA$: A è il dominio su quale è defenita la $psi$
dunque, una volta arrivato a questo integrale dice che quello è uguale al volume sotteso dalla $psi$.
Ma io mi chiedo...chi l'ha detto che la $psi$ è abbastanza regolare da poter ridurre l'integrale triplo in quello doppio?
sicuramente mi sbaglio io, però vorrei capire dove
spero che qualcuno mi aiuti!
ciao!
non essendo un'esperta di analisi matematica (anzi) vorrei chiedervi questa cosa, che a me non torna (diciamo per l'intuizione).
ad una lezione non tanto matematica il mio prof scrisse:
$psi:=f(x,y)$
$nabla^2 psi=-2$
$psi=0$ sul bordo esterno
$psi=Cost i$ sulle lacune interne (dove i = n.lacuna)
poi praticamente arriva all'integrale $int_{A}psi dA$: A è il dominio su quale è defenita la $psi$
dunque, una volta arrivato a questo integrale dice che quello è uguale al volume sotteso dalla $psi$.
Ma io mi chiedo...chi l'ha detto che la $psi$ è abbastanza regolare da poter ridurre l'integrale triplo in quello doppio?
sicuramente mi sbaglio io, però vorrei capire dove
spero che qualcuno mi aiuti!
ciao!
Risposte
Non capisco perché parli di integrale triplo: rifletti, $\Psi$ è una funzione di $2$ variabili, quindi al massimo potrai calcolarne un integrale doppio. Inoltre, per definizione sai che
$\int_D g(x,y)\ dx\dy$ è pari al volume del solido che ha come base (nel piano $xOy$) il dominio $D$ in cui variano $x,y$ stesse e come altezza i valori $z=g(x,y)$. Per quanto riguarda la regolarità, credo che l'assunzione del fatto che il Laplaciano sia ovunque pari a $-2$ dovrebbe dirti che la funzione è almeno di classe $C^2$ (o almeno penso sia quello che il tuo Prof. volesse sottointendere). Le ulteriori condizioni al bordo credo confermino che la funzione $\Psi$, in ogni caso, debba essere almeno continua su tutta $A$ e quindi integrabile.
$\int_D g(x,y)\ dx\dy$ è pari al volume del solido che ha come base (nel piano $xOy$) il dominio $D$ in cui variano $x,y$ stesse e come altezza i valori $z=g(x,y)$. Per quanto riguarda la regolarità, credo che l'assunzione del fatto che il Laplaciano sia ovunque pari a $-2$ dovrebbe dirti che la funzione è almeno di classe $C^2$ (o almeno penso sia quello che il tuo Prof. volesse sottointendere). Le ulteriori condizioni al bordo credo confermino che la funzione $\Psi$, in ogni caso, debba essere almeno continua su tutta $A$ e quindi integrabile.
scusa mi stai dicendo che il volume del (ad esempio) paraboloide lo posso calcolare solo con l'integrale doppio? io intendevo usare V=$int int int dx dy dz$,
cioè io pensavo che questa formula che dici tu si poteva applicare se come la base del solido si ha la D e va bene, sopra c'è $z=f(x,y)$ e sui lati il solido è limitato dalla sup cilindrica ed i lati dovrebbero essere paralleli all'asse z.
Non so se mi sono spiegata bene...
cioè io pensavo che questa formula che dici tu si poteva applicare se come la base del solido si ha la D e va bene, sopra c'è $z=f(x,y)$ e sui lati il solido è limitato dalla sup cilindrica ed i lati dovrebbero essere paralleli all'asse z.
Non so se mi sono spiegata bene...
Ti sei spiegata benissimo ma fai un po' di confusione: ci sono due tipologie di solidi di cui puoi calcolare il volume. La prima è quella del solido "tout-curt": hai un dominio $D\subset RR^3$ di cui vuoi determinare il volume (ad esempio il paraboloide come dici tu) e calcoli
$V=\int\int\int_{D} dx\ dy\ dz$
La seconda tipologia è quella dei "cilindroidi", cioè quei solidi che hanno come base un dominio $A\subset RR^2$ che giace nel piano $xOy$ e l'altezza definita dai punti della superficie $z=f(x,y)$, e tale volume si calcola con l'integrale
$\int\int_{A} f(x,y)\ dx\dy$.
Ora è chiaro?
$V=\int\int\int_{D} dx\ dy\ dz$
La seconda tipologia è quella dei "cilindroidi", cioè quei solidi che hanno come base un dominio $A\subset RR^2$ che giace nel piano $xOy$ e l'altezza definita dai punti della superficie $z=f(x,y)$, e tale volume si calcola con l'integrale
$\int\int_{A} f(x,y)\ dx\dy$.
Ora è chiaro?
si 
oppure solo sembra di essere chiaro.
insomma il dubbio mi è venuto proprio perché poi per il dominio circolare la scelta efficace per la $psi$ potrebbe essere un paraboloide del tipo $1/2(R^2-x^2-y^2)$ quindi facendo l'integrale $ int psi dA$ dovrebbe comunque dare il volume del paraboloide?
forse non mi è chiaro il concetto del cilindroide, cioè adesso per me il paraboloide non lo è, ed invece forse non è vero?
grazie per la tua disponibilità!
oppure solo sembra di essere chiaro.insomma il dubbio mi è venuto proprio perché poi per il dominio circolare la scelta efficace per la $psi$ potrebbe essere un paraboloide del tipo $1/2(R^2-x^2-y^2)$ quindi facendo l'integrale $ int psi dA$ dovrebbe comunque dare il volume del paraboloide?
forse non mi è chiaro il concetto del cilindroide, cioè adesso per me il paraboloide non lo è, ed invece forse non è vero?
grazie per la tua disponibilità!
Esempio:
$D = { (x,y,z) : \ x^2 + y^2 \le R^2, \ \ 0 \le z \le R^2 - x^2 - y^2}$
$V=\int\int\int_{D} dx\ dy\ dz= \int\int_{A} f(x,y)\ dx\dy \int_0^{R^2 - x^2 -y^2} dz = \int\int_{A} R^2 - x^2 -y^2 \ dx\ dy $
Naturalmente:
$A = { (x,y) : \ x^2 + y^2 \le R^2 }
$D = { (x,y,z) : \ x^2 + y^2 \le R^2, \ \ 0 \le z \le R^2 - x^2 - y^2}$
$V=\int\int\int_{D} dx\ dy\ dz= \int\int_{A} f(x,y)\ dx\dy \int_0^{R^2 - x^2 -y^2} dz = \int\int_{A} R^2 - x^2 -y^2 \ dx\ dy $
Naturalmente:
$A = { (x,y) : \ x^2 + y^2 \le R^2 }
grazie mille! che domanda stupida che era adesso mi sa che ho capito tutto.
scusate l'aggiunto per la domanda stupida: ma mi fareste un esempio in cui questa riduzione non funziona?
adesso mi sa che ho capito tutto.scusate l'aggiunto per la domanda stupida: ma mi fareste un esempio in cui questa riduzione non funziona?
Prova a calcolare il volume della sfera $x^2+y^2+z^2=R^2$: lì puoi usare il passaggio a coordinate polari ma ciò che resta, in sostanza, è sempre un integrale triplo.
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