Piccolo dubbio su De l'hopital
Mi ricordo che molto spesso la mia professoressa di analisi mi diceva che quando usiamo de l'hopital dopo il limite và messo il segno = con un punto interrogativo sopra (perche non si sà se è lecito usarlo) e a questo punto il dubbio (è un'inezia) posso togliere punto interrogativo ed essere sicuro della sua validità solo dopo aver trovato che il limite del rapporto delle derivate è finito? oppure c'era un'altro modo che ora come ora non mi ricordo
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Risposte
"Ozymandias":
Mi ricordo che molto spesso la mia professoressa di analisi mi diceva che quando usiamo de l'hopital dopo il limite và messo il segno = con un punto interrogativo sopra (perche non si sà se è lecito usarlo) e a questo punto il dubbio (è un'inezia) posso togliere punto interrogativo ed essere sicuro della sua validità solo dopo aver trovato che il limite del rapporto delle derivate è finito? oppure c'era un'altro modo che ora come ora non mi ricordo
Grazie in anticipo
No. Il teorema dice che se esiste il limite del rapporto delle derivate (e valgono tutte le altre ipotesi), allora esiste anche il limite del rapporto delle due funzioni e i due limiti coincidono.
Per esempio non è lecito scrivere:
$lim_(x -> +oo) (x + sin(x))/(x - cos(x)) = lim_(x -> +oo) (1 + cos(x))/(1 + sin(x))$
$lim_(x -> +oo) (x + sin(x))/(x - cos(x)) = lim_(x -> +oo) (1 + cos(x))/(1 + sin(x))$
"Seneca":
Per esempio non è lecito scrivere:
$lim_(x -> +oo) (x + sin(x))/(x - cos(x)) = lim_(x -> +oo) (1 + cos(x))/(1 + sin(x))$
ok perfetto ^^ mi interessava sapere questo =) grazie mille
dunque il limite di$lim_(x -> +oo) (x + sin(x))/(x - cos(x)) $ sarà $1$
poiche la differenza tra i coefficienti di grado massimo è $x/x = 1 $ ?
poiche la differenza tra i coefficienti di grado massimo è $x/x = 1 $ ?
"barabbo":
i coefficienti di grado massimo
Non è corretta questa espressione. Però sì, quel limite fa $1$ perché, dividendo numeratore e denominatore per $x$, ...
"Seneca":
[quote="barabbo"]i coefficienti di grado massimo
Non è corretta questa espressione. Però sì, quel limite fa $1$ perché, dividendo numeratore e denominatore per $x$, ...[/quote]
in che senso?
se dico che $sinx $ e $ cosx$ cono sempre compresi tra -1 e 1 ...
e il limite tende a infinito...
divido i due termini di grado massimo restanti, gli unici capaci di caratterizzare il limite.
dove sbaglio?
In quello che ha scritto Seneca, il limite a destra non esiste, in quanto è oscillante. Infatti se prendi le due successioni $a_n=\pi/2+2n\pi$ e $b_n={3\pi}/2+2n\pi$ allora detta [tex]$f(x)=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$[/tex] si ha
[tex]$\lim_{n\to+\infty}f(a_n)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1+1}{1+0}=2,\qquad \lim_{n\to+\infty}f(b_n)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1-1}{1+0}=0$[/tex]
per cui il limite non esiste.
Il limite a sinistra, invece, diventa asintotico a [tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}=1$[/tex] e quindi esiste. Come vedi, Seneca dava un esempio in cui se non esiste il limite del rapporto delle derivate (condizione necessaria per il Teorema) non è detto che il limite del rapporto delle funzioni non si possa calcolare.
[tex]$\lim_{n\to+\infty}f(a_n)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1+1}{1+0}=2,\qquad \lim_{n\to+\infty}f(b_n)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1-1}{1+0}=0$[/tex]
per cui il limite non esiste.
Il limite a sinistra, invece, diventa asintotico a [tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}=1$[/tex] e quindi esiste. Come vedi, Seneca dava un esempio in cui se non esiste il limite del rapporto delle derivate (condizione necessaria per il Teorema) non è detto che il limite del rapporto delle funzioni non si possa calcolare.
"ciampax":
In quello che ha scritto Seneca, il limite a destra non esiste, in quanto è oscillante. Infatti se prendi le due successioni $a_n=\pi/2+2n\pi$ e $b_n={3\pi}/2+2n\pi$ allora detta [tex]$f(x)=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$[/tex] si ha
[tex]$\lim_{n\to+\infty}f(a_n)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1+1}{1+0}=2,\qquad \lim_{n\to+\infty}f(b_n)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1-1}{1+0}=0$[/tex]
per cui il limite non esiste.
Il limite a sinistra, invece, diventa asintotico a [tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}=1$[/tex] e quindi esiste. Come vedi, Seneca dava un esempio in cui se non esiste il limite del rapporto delle derivate (condizione necessaria per il Teorema) non è detto che il limite del rapporto delle funzioni non si possa calcolare.
allora , per quanto riguarda $lim_(x -> +oo)\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$ ho capito, grazie,
ma avendo di fronte $lim_(x -> +oo) (x + sin(x))/(x - cos(x)) $, funzionerebbe il mio ragionamento?
cioè...basta dire che è asintotico a $x/x$ per risolverlo con $l=1$ ?
Sì, il limite in questo caso era banale. Era solo per esibire un caso in cui De L'Hospital si rivela inutile.
Prima comunque criticavo la terminologia. Non hai una funzione razionale fratta. Numeratore e denominatore non sono polinomi, quindi non ha senso parlare di grado massimo.
Prima comunque criticavo la terminologia. Non hai una funzione razionale fratta. Numeratore e denominatore non sono polinomi, quindi non ha senso parlare di grado massimo.
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