Piccolo dubbio integrale per sostituzione
Salve, facendo esercizi mi è venuto un dubbio su una sostituzione, dubbio che avevo da un po' ma che ho sempre avuto paura a dire apertamente.
Se ho un integrale con estremi di integrazione $0$ e $pi$ di una funzione di $sinx$ e voglio fare la sostituzione $z=sinx$ in modo da ottenere una funzione un po' più bella, quando vado a cambiare gli estremi di integrazione mi esce fuori un integrale tra 0 e 0, che da 0. Ma questo è assurdo. Mi domando come si faccia per fare questa sostituzione.
Se ho un integrale con estremi di integrazione $0$ e $pi$ di una funzione di $sinx$ e voglio fare la sostituzione $z=sinx$ in modo da ottenere una funzione un po' più bella, quando vado a cambiare gli estremi di integrazione mi esce fuori un integrale tra 0 e 0, che da 0. Ma questo è assurdo. Mi domando come si faccia per fare questa sostituzione.
Risposte
Semplicemente, la sostituzione che proponi non è lecita.
La funzione "sostituita" deve essere monotona nell'intervallo d'integrazione originario e [tex]$\sin x$[/tex] non lo è in [tex]$[0,\pi]$[/tex]; ciò dovrebbe risultarti chiaro dalla dimostrazione del teorema...
Per fare la sostituzione che proponi devi prima spezzettare l'integrale nella somma di integrali estesi agli intervalli di monotonia del [tex]$\sin x$[/tex] contenuti in [tex]$[0,\pi]$[/tex].
La funzione "sostituita" deve essere monotona nell'intervallo d'integrazione originario e [tex]$\sin x$[/tex] non lo è in [tex]$[0,\pi]$[/tex]; ciò dovrebbe risultarti chiaro dalla dimostrazione del teorema...
Per fare la sostituzione che proponi devi prima spezzettare l'integrale nella somma di integrali estesi agli intervalli di monotonia del [tex]$\sin x$[/tex] contenuti in [tex]$[0,\pi]$[/tex].
è vero, ho riletto meglio il teorema e mi era sfuggito... grazie!
però a questo punto ho un altro dubbio:
se per esempio ho $\int_0^(pi)sin^2xdx$ e lo voglio scomporre in $\int_0^(1/2pi)sin^2x +\int_(1/2pi)^(pi)sin^2x dx$ per poi fare la sostituzione $t=sinx$ poi avrei
$\int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt + \int_1^0t^2*1/sqrt(1-t^2)dt$. Ma a questo punto sapendo che posso invertire gli estremi di integrazione cambiando il segno della funzione integranda otterrei di nuovo 0, infatti
$\int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt + \int_1^0t^2*1/sqrt(1-t^2)dt = \int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt - \int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt=0$
Ma non è così.
però a questo punto ho un altro dubbio:
se per esempio ho $\int_0^(pi)sin^2xdx$ e lo voglio scomporre in $\int_0^(1/2pi)sin^2x +\int_(1/2pi)^(pi)sin^2x dx$ per poi fare la sostituzione $t=sinx$ poi avrei
$\int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt + \int_1^0t^2*1/sqrt(1-t^2)dt$. Ma a questo punto sapendo che posso invertire gli estremi di integrazione cambiando il segno della funzione integranda otterrei di nuovo 0, infatti
$\int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt + \int_1^0t^2*1/sqrt(1-t^2)dt = \int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt - \int_0^1t^2*1/sqrt(1-t^2)dt=0$
Ma non è così.
Quando calcoli l'integrale su $[\pi/2, \pi]$ devi tenere conto che la funzione inversa non è più l'arcoseno.
In particolare, se consideri la funzione $f:[\pi/2, 3\pi/2]\to [-1,1]$, definita da $f(x) = \sin(x)$, per il teorema di derivazione della funzione inversa hai che
$(f^-1)'(y) = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}$, $y\in (-1,1)$.
(Notare il segno "meno".)
In particolare, se consideri la funzione $f:[\pi/2, 3\pi/2]\to [-1,1]$, definita da $f(x) = \sin(x)$, per il teorema di derivazione della funzione inversa hai che
$(f^-1)'(y) = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}$, $y\in (-1,1)$.
(Notare il segno "meno".)
"gugo82":
Semplicemente, la sostituzione che proponi non è lecita.
La funzione "sostituita" deve essere monotona nell'intervallo d'integrazione originario e [tex]$\sin x$[/tex] non lo è in [tex]$[0,\pi]$[/tex]; ciò dovrebbe risultarti chiaro dalla dimostrazione del teorema...
Si chiede la monotonia della funzione sostituita perchè deve risultare invertibile sull'intervallo in questione, vero?
Grazie.
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