Piccolo dubbio...

[pietrodig]

Ciao ragazzi, ho svolto stamattina un esercizio relativo alla ricerca degli estremi relativi di questa funzione:
$sqrt(x^2+y^2)+x+y$
Svolgendo i calcoli vien fuori che le derivate parziali si annullano in $(0,0)$ ma, non essendo definite in $(0,0)$, non esistono punti critici. Fin qui nulla di sbagliato, a parte il fatto che usando il metodo grafico vien fuori che quel punto è di sella (cosa che io non ho specificato). Credete che abbia commesso un errore non andando a studiare il segno di $f(x,y)-f(x_0,y_0)$?

[pietrodig]

ragazzi nessuno può aiutarmi?

[ciampax]

La funzione è sicuramente non derivabile nell'origine, tuttavia è continua. Pertanto, biosgnava ragionare sul comportamento della funzione stessa in questo punto. Infatti, un possibile rgionamento è il seguente: se consideri una retta passante per l'origine $y=mx$ la funzione diventa $F_m(x)=\sqrt{(1+m^2)x^2}+(1+m)x$. Ora, è abbastanza facile far vedere che tale funzione cambia segno sia al variare di $x$ che al variare di $m$: questo implica che ci sono direzioni per le quali in $(0,0)$ la funzione "cresce" e altre per le quali "decresce" e questo genera, appunto, una sella.