Piccolo consiglio su equazione differenziale
Gli esercizi sulle equazioni differenziali mi riescono abbastanza bene ma sono bloccato su questa. Mi serve solo un piccolo aiuto.
Devo trovare la soluzione generale dell'equazione $ y''+y'-2y=e^{t}/(e^{t}+1) $
Il polinomio caratteristico associato è $ x^2+x-2=0 $ con soluzioni $ x_1=1 $ e $ x_2=-2 $
Quindi la soluzione generale dell'omogenea associata è $ y(t)=c_1e^{t}+c_2e^{-2t} $
------
A questo punto dovrei trovare una soluzione della non omogenea del tipo $ y(t)=e^{xt}*p(t) $ dove $ p(t) $ è un polinomio di grado $ k $ se $ x $ non è radice del polinomio caratteristico oppure di grado $ m+k $ se $ x $ è radice di ordine $ m $ del polinomio caratteristico.
Ma non ho idea di come trattare quel $ e^{t}/(e^{t}+1) $ in modo da portarlo alla forma $ e^{xt}*p(t) $. Qualcuno può darmi una dritta solo su questo particolare? Il resto so farlo
Devo trovare la soluzione generale dell'equazione $ y''+y'-2y=e^{t}/(e^{t}+1) $
Il polinomio caratteristico associato è $ x^2+x-2=0 $ con soluzioni $ x_1=1 $ e $ x_2=-2 $
Quindi la soluzione generale dell'omogenea associata è $ y(t)=c_1e^{t}+c_2e^{-2t} $
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A questo punto dovrei trovare una soluzione della non omogenea del tipo $ y(t)=e^{xt}*p(t) $ dove $ p(t) $ è un polinomio di grado $ k $ se $ x $ non è radice del polinomio caratteristico oppure di grado $ m+k $ se $ x $ è radice di ordine $ m $ del polinomio caratteristico.
Ma non ho idea di come trattare quel $ e^{t}/(e^{t}+1) $ in modo da portarlo alla forma $ e^{xt}*p(t) $. Qualcuno può darmi una dritta solo su questo particolare? Il resto so farlo
Risposte
Il problema è che se cerchi $y$ del tipo $e^{xt}p(t)$ le derivate sono di une forma similare, e invece $\frac{e^t}{e^t+1}$ non lo è.
Une metodo consiste a posare $z=y'-y$; abiamo $z'+2z = \frac{e^t}{e^t+1}$, trovi $z$ e dopo $y$.
Une metodo consiste a posare $z=y'-y$; abiamo $z'+2z = \frac{e^t}{e^t+1}$, trovi $z$ e dopo $y$.
Oltre al consiglio dato da girdav (che consente di abbassare l'ordine della EDO), visto che il termine noto non è in forma "comoda" puoi pensare di usare direttamente il metodo della variazione delle costanti.
Sono riuscito a risolvere facilmente l'esercizio con il metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Mi scuso per non averci pensato prima ma, pur avendo studiato tale metodo, non mi è mai capitato in un esercizio.
Ad ogni modo trovo molto interessante il metodo di girdav e ho provato a risolverlo anche così.
Ponendo $ z= y'-y$ e risolvendo $ z'+2z=e^{t}/(e^{t}+1)$ ottengo
$z(t)=(log(e^{t}+1)+(e^{2t}-2e^{t})/2)e^{-2t}$
A questo punto come trovo $y(t)$? Immagino che dovrei sostituire $z(t)$ nell'equazione di partenza ma in che modo?
Ad ogni modo trovo molto interessante il metodo di girdav e ho provato a risolverlo anche così.
Ponendo $ z= y'-y$ e risolvendo $ z'+2z=e^{t}/(e^{t}+1)$ ottengo
$z(t)=(log(e^{t}+1)+(e^{2t}-2e^{t})/2)e^{-2t}$
A questo punto come trovo $y(t)$? Immagino che dovrei sostituire $z(t)$ nell'equazione di partenza ma in che modo?
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