Piccoli passi per esercizi di Laplace
Mi sono messo a fare un pò di esercizi su Laplace, partendo da quelli più facili naturalmente, ma mi sorgono subito dei dubbi. Svolgendo questi esercizi
$f(t)=t^3e^(-3t)$
$f(t)=(1/2)(t+2)^2e^t$
e altri che sono abbastanza simili. Non riesco a capire come poter fare la trasformata di Laplace per $t^3$ e $e^(-3t)$ a metterle assieme, perchè penso che sia altamente sbagliato svolgere le due trasformate singolarmente e poi moltiplicare tra loro. Giusto? Qualcuno, gentilmente protrebbe aiutarmi?
$f(t)=t^3e^(-3t)$
$f(t)=(1/2)(t+2)^2e^t$
e altri che sono abbastanza simili. Non riesco a capire come poter fare la trasformata di Laplace per $t^3$ e $e^(-3t)$ a metterle assieme, perchè penso che sia altamente sbagliato svolgere le due trasformate singolarmente e poi moltiplicare tra loro. Giusto? Qualcuno, gentilmente protrebbe aiutarmi?
Risposte
Cadetto fai molta attenzione. La trasformata di Laplace del prodotto di due funzioni corrisponde alla convoluzione nell'altro dominio. Nel caso particolare del prodotto per un'esponenziale può esserti di grande aiuto questa proprietà:
$L{f(t)e^(-at)}(s)=L{f(t)}(s+a)$
$L{f(t)e^(-at)}(s)=L{f(t)}(s+a)$
Però come potrei usarla?
Ad esempio, considerando la prima:
$L{t^3e^(-3t)}(s)=L{t^3}(s+3)$
$L{t^3}=\frac{3!}{s^(3+1)}=\frac{6}{s^4}$
quindi
$L{t^3}(s+3)=\frac{6}{(s+3)^4}$
P.S. Non mi chiedere da dove viene questa $L{t^3}=\frac{3!}{s^(3+1)}$ perchè già hai avuto la risposta in un precedente post
Per la seconda si procede in maniera simile e poi sfrutta un'altra proprietà....
$L{t^3e^(-3t)}(s)=L{t^3}(s+3)$
$L{t^3}=\frac{3!}{s^(3+1)}=\frac{6}{s^4}$
quindi
$L{t^3}(s+3)=\frac{6}{(s+3)^4}$
P.S. Non mi chiedere da dove viene questa $L{t^3}=\frac{3!}{s^(3+1)}$ perchè già hai avuto la risposta in un precedente post
Per la seconda si procede in maniera simile e poi sfrutta un'altra proprietà....
No, ok ci sono da dove arriva la trasformata di $t^3$. La cosa che non capisco è che se giustamente la trasformata di $t^3 = 6/s^4$, ma la trasformata di $e^-3t$ è uguale a $-(1/(s+3))$ (giusto?), come fa a fare la trasformata complessiva $= 6/(s+4)^4$?
$L{e^(-3t)}=\frac{1}{s+3}$ senza il segno $-$. Dalla nota che ti ho scritto precedentemente si nota che, qualora volessi procedere considerando le trasformate dei singoli termini $t^3$ e $e^(-3t)$ e non la proprietà suggerita, ne dovresti fare la convoluzione e non il prodotto. Ti consiglio di rileggere per bene la trasformata di Laplace, eventualmente, anche semplicemente da wikipedia.
Grazie, si, me lo sono andato a vedere su wikipedia e sul libro di analisi che ho.
Fabio
Fabio
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