Piccoli dubbi sullo studio di funzione

[devian1]

Ciao!
Mi rivolgo a voi per alcune cose che non riesco a capire...
allora:
devo calcolare il segno di $ ln(\frac{x}{x-2}) +x $
faccio $ f(x) > 0 hArr ln(\frac{x}{x-2}) +x > 0 rArr ln(\frac{x}{x-2}) > -x $
a questo punto non so come andare avanti, sapendo che il log è l'esponente a cui elevare la base per avere l'argomento, pongo $ e^-x < \frac{x}{x-2} rArr \frac{x-2}{e^x x} < 0 $
giusto? io non ne sono per niente convinto
secondo dubbio: nel mio libro c'è scritto

$ f(x) = 1 +x + sqrt(1-x^2) $ su [-1,1]. $ f'(x) = 1 - \frac{x}{sqrt(1-x^2)}$ . Le ipotesi di Lagrange sono soddisfatte, pertanto: $ 1 = \frac{f(1) - f(-1)}{1-(-1)} = f'(x_0) = 1 - \frac{x_0}{sqrt(1-x_0^2)} $
Il punto di lagrange è $ x_0 = 0 $

Ho capito tutto ma, se non sbaglio, non viene $ 1 - frac{1}{0} $ ?? quindi errore ?? Se mi succede una cosa cosi in un esame posso andare avanti comunque??

grazie mille a chi mi potrà dare una mano!

[K.Lomax]

Fai uno studio veloce delle due funzioni [tex]\log\left(\frac{x}{x-2}\right)[/tex] e [tex]-x[/tex] (nel dominio della funzione, sullo stesso grafico) per capire dove

[tex]\log\left(\frac{x}{x-2}\right)>-x[/tex]

Per la seconda mi sa che non hai calcolato bene [tex]f'(x_0)=1-\frac{0}{1}=1[/tex]

[devian1]

Ciao e grazie della risposta.
per la prima risposta non ho capito bene, il dominio mi viene $ Dom(f) = (-\infty, 0) U (2, +\infty) $
cioè un logaritmo è maggiore di 0 quando il suo argomento e maggiore di 1, minore di zero se compreso tra 0 e 1
quindi $ \frac{x}{x-2} > 1 $ ??
che capra che sono

per la seconda domanda, al mio libro è venuto 1, lì sono d'accordo perchè anche a me è venuto cosi.
dopo aver fatto $ \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1 $ che significa che la derivata nel punto $ x_0 $ viene 1.
ora per trovare questa x faccio $ 1 - \frac{x_0}{sqrt(1 - x_0^2)} = 1 $; $ \frac{x_0}{sqrt(1 - x_0^2)} = 0 $; $x_0 = 0 $; è giusto il ragionamento?

[K.Lomax]

Non posso fare disegni, tenterò di farti capire scrivendo. Il dominio è quello che hai detto. La funzione [tex]-x[/tex], che è la bisettrice del secondo e quarto quadrante, ha valori negativi per [tex]x>2[/tex] e positivi per [tex]x<0[/tex]. Adesso

[tex]\log\left(\frac{x}{x-2}\right)>0[/tex]

se

[tex]\frac{x}{x-2}>1[/tex]

ovvero, se [tex]\frac{2}{x-2}>0\Rightarrow x>2[/tex]. Quindi questa funzione è positiva per [tex]x>2[/tex] e negativa per [tex]x<0[/tex]. Dunque

[tex]\log\left(\frac{x}{x-2}\right)>-x[/tex] se [tex]x>2[/tex].

Ok per il secondo.