Piccoli dubbi sulle derivate in Analisi Matematica 2
Ciao ragazzi, stavo studiando le derivate nel corso di analisi matematica due e mi sono sorti alcuni (sciocchi) dubbi:
(1) La definizione di derivata parziale e direzionale prevede queste ipotesi:
Sia data la funzione f, definita su A, con valori in R, con A sottoinsieme di R^2; siano dati i punti (x0, y0) appartenente alla parte interna di A.
Perché la parte interna di A? Perché questa restrizione che sinceramente non mi spiego?
(2) Le derivate parziali sono "casi particolari" delle derivate direzionali. Ma quindi le derivate parziali tagliano la funzioni lungo x (oppure lungo y)?
(3) Una funzione è derivabile se, per definizione, ammette derivate in ogni direzione. Quindi una funzione è derivabile se ammette derivate direzionali (di conseguenza anche derivate parziali)?
Grazie mille ragazzi!
(1) La definizione di derivata parziale e direzionale prevede queste ipotesi:
Sia data la funzione f, definita su A, con valori in R, con A sottoinsieme di R^2; siano dati i punti (x0, y0) appartenente alla parte interna di A.
Perché la parte interna di A? Perché questa restrizione che sinceramente non mi spiego?
(2) Le derivate parziali sono "casi particolari" delle derivate direzionali. Ma quindi le derivate parziali tagliano la funzioni lungo x (oppure lungo y)?
(3) Una funzione è derivabile se, per definizione, ammette derivate in ogni direzione. Quindi una funzione è derivabile se ammette derivate direzionali (di conseguenza anche derivate parziali)?
Grazie mille ragazzi!
Risposte
1) Perché hai bisogno di un intorno completo del punto per definire la derivata. Se prendi un punto di frontiera, stai facendo il limite del rapporto incrementale solo "da una parte". E' la stessa cosa che succede nel caso di una variabile: si prendono i punti interni a un intervallo per definire la derivata, altrimenti per $h>0$ o $h<0$ il rapporto incrementale potrebbe non avere senso (e questo porta a definire derivata destra e sinistra nel caso di una variabile, ma qui non si può fare perché non c'è "destra" e "sinistra" ma infinite direzioni)
2) Sì, significa che stai derivando lungo le direzioni dei due assi
3) In genere, con derivabilità di una funzione si intende semplicemente l'esistenza delle derivate parziali. L'esistenza delle derivate direzionali invece è legata alla differenziabilità: se una funzione è differenziabile allora esistono tutte le derivate direzionali. Se una funzione è soltanto derivabile, non è detto che esistano. Ad esempio $|y|^{1/2} e^{x^2/y^2}$ ha derivate parziali nulle in $0$, ma lungo le altre direzioni non è derivabile in $0$ poiché $f(x,kx) = c \cdot |x|^{1/2}$
2) Sì, significa che stai derivando lungo le direzioni dei due assi
3) In genere, con derivabilità di una funzione si intende semplicemente l'esistenza delle derivate parziali. L'esistenza delle derivate direzionali invece è legata alla differenziabilità: se una funzione è differenziabile allora esistono tutte le derivate direzionali. Se una funzione è soltanto derivabile, non è detto che esistano. Ad esempio $|y|^{1/2} e^{x^2/y^2}$ ha derivate parziali nulle in $0$, ma lungo le altre direzioni non è derivabile in $0$ poiché $f(x,kx) = c \cdot |x|^{1/2}$
Grazie mille Antimius! Sei stato chiaro e preciso. 
Figurati
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo