Piccole domande sulla trasformata di Laplace
Mi servirebbe un aiutino su queste due piccole domande:
1) Dare un esempio di funzione L-trasformabile $ f(t) $ la cui trasformata sia definita in tutto il piano complesso.
2) Stabilire se la funzione $ F(z) = z^2 $ è la trasformata di Laplace di un segnale.
Per il punto 1 non so che inventarmi. Per il secondo mi sono inventato qualcosa ma non sono sicuro.
Le condizioni da soddisfare è che F(z) sia analitica nel semipiano $ \sigma = Re(z) > \sigma_0 $ e tale che si abbia
$ |F(z)| = O(\frac {1}{s^k}) $ per $ s -> +\infty $ con $ k > 1 $.
Ora $ F(z) = z^2 $ è analitica ovunque, non solo in un semipiano. Cioè non esiste una particolare ascissa di convergenza
$ \sigma_0 $. E' una condizione che già di per se annulla le possibilità che $ z^2 $ sia la trasformata di Laplace di
un segnale? Oppure dato che è analitica ovunque allora sicuramente lo sarà in un semipiano? Poi però non mi pare che
sia $ O(\frac {1}{s^k}) $.. quindi direi che non può essere trasformata di Laplace di alcun segnale.
1) Dare un esempio di funzione L-trasformabile $ f(t) $ la cui trasformata sia definita in tutto il piano complesso.
2) Stabilire se la funzione $ F(z) = z^2 $ è la trasformata di Laplace di un segnale.
Per il punto 1 non so che inventarmi. Per il secondo mi sono inventato qualcosa ma non sono sicuro.
Le condizioni da soddisfare è che F(z) sia analitica nel semipiano $ \sigma = Re(z) > \sigma_0 $ e tale che si abbia
$ |F(z)| = O(\frac {1}{s^k}) $ per $ s -> +\infty $ con $ k > 1 $.
Ora $ F(z) = z^2 $ è analitica ovunque, non solo in un semipiano. Cioè non esiste una particolare ascissa di convergenza
$ \sigma_0 $. E' una condizione che già di per se annulla le possibilità che $ z^2 $ sia la trasformata di Laplace di
un segnale? Oppure dato che è analitica ovunque allora sicuramente lo sarà in un semipiano? Poi però non mi pare che
sia $ O(\frac {1}{s^k}) $.. quindi direi che non può essere trasformata di Laplace di alcun segnale.
Risposte
Ho trovato la risposta alla domanda 1)
La funzione $ \delta_[0,h) (t) = H(t) - H(t-h) $ che è l'impulso di durata h, ha come trasformata di Laplace una funzione intera, che ha dunque ascissa di convergenza $ -\infty $.
Questo significa che nel punto 2 abbiamo lo stesso $ -\infty $ come ascissa di convergenza. Sta di fatto che non saprei come calcolare l'antitrasformata di $ z^2 $.
Ho detto una gran cavolata. $ z^2 $ ha una singolarità in 0.
La funzione $ \delta_[0,h) (t) = H(t) - H(t-h) $ che è l'impulso di durata h, ha come trasformata di Laplace una funzione intera, che ha dunque ascissa di convergenza $ -\infty $.
Questo significa che nel punto 2 abbiamo lo stesso $ -\infty $ come ascissa di convergenza. Sta di fatto che non saprei come calcolare l'antitrasformata di $ z^2 $.
Ho detto una gran cavolata. $ z^2 $ ha una singolarità in 0.
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