Piccola spiegazione derivate direzionali
Leggendo dal libro Pagani-Salsa:
"L'esistenza della derivata in una direzione non da informazioni circa l'esistenza della derivata in un'altra direzione.
Per esempio la funzione
${ ( f(x,y)=x^2/(x^2+y^2)se(x,y)!=(0,0) ),( f(0,0)=0 ):}$
ha $De2 f(0,0)=0$ mentre $De1 f(0,0)$ non esiste. L'allievo è invitato a verificare i calcoli."
Non capisco, la funzione da prendere in considerazione $f(0,0)=0$, però con un qualsiasi incremento dovrei prendere l'altra o sbaglio?
Mi da le due formule
$lim_(t -> 0) f((x+tv)-f(x))/t$ e
$Dvf(x)=varphi '(0)$ dove $varphi (t)=f(x+tv)$
dove x e v sono vettori, però non so utilizzarle. Avrei bisogno dell'esempio svolto per capire, provando mi danno entrambe le derivate 0 o entrambe non esistono. E poi fare la derivata direzionale lungo $e1$ ed $e2$ non è uguale a fare la derivata parziale?
Grazie dell'attenzione, ho anche un altro problema ma se riesco a capire questo probabilmente non ci sarà bisogno di postarlo.
"L'esistenza della derivata in una direzione non da informazioni circa l'esistenza della derivata in un'altra direzione.
Per esempio la funzione
${ ( f(x,y)=x^2/(x^2+y^2)se(x,y)!=(0,0) ),( f(0,0)=0 ):}$
ha $De2 f(0,0)=0$ mentre $De1 f(0,0)$ non esiste. L'allievo è invitato a verificare i calcoli."
Non capisco, la funzione da prendere in considerazione $f(0,0)=0$, però con un qualsiasi incremento dovrei prendere l'altra o sbaglio?
Mi da le due formule
$lim_(t -> 0) f((x+tv)-f(x))/t$ e
$Dvf(x)=varphi '(0)$ dove $varphi (t)=f(x+tv)$
dove x e v sono vettori, però non so utilizzarle. Avrei bisogno dell'esempio svolto per capire, provando mi danno entrambe le derivate 0 o entrambe non esistono. E poi fare la derivata direzionale lungo $e1$ ed $e2$ non è uguale a fare la derivata parziale?
Grazie dell'attenzione, ho anche un altro problema ma se riesco a capire questo probabilmente non ci sarà bisogno di postarlo.
Risposte
Ti scrivo in forma "estesa" quello che tu hai scritto in forma compatta: se consideriamo un punto dello spazio $(x,y)$ e un vettore $v=(a,b)$, la derivata direzionale della funzione $f(x,y)$ in tale punto e nella direzione $v$ è data da
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(x+at,y+bt)-f(x,y)}{t}$$
Se ora prendiamo la funzione data, il punto $(0,0)$ e i due vettori $e_1=(1,0),\ e_2=(0,1)$ possiamo scrivere
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{t^2}{t^2}-0}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}=\infty\\ \lim_{t\to 0}\frac{f(0,0+t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{0-0}{t}=0$$
Ora ti è chiaro?
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(x+at,y+bt)-f(x,y)}{t}$$
Se ora prendiamo la funzione data, il punto $(0,0)$ e i due vettori $e_1=(1,0),\ e_2=(0,1)$ possiamo scrivere
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{t^2}{t^2}-0}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}=\infty\\ \lim_{t\to 0}\frac{f(0,0+t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{0-0}{t}=0$$
Ora ti è chiaro?
Mi dimenticavo di dividere per t alla fine, perché trovavo $1$ per la prima e $0$ per la seconda.
Ti ringrazio, questo mi è chiarissimo e infatti ho risolto anche l'altro problema. Tuttavia permane un dubbio.
Se volessi trovare lo stesso risultato usando questa formula, cosa dovrei fare? E' possibile?
$ Dvf(x)=varphi '(0) $ dove $ varphi (t)=f(x+tv) $
Perché se prendo la funzione con l'incremento $t^2/t^2+0=1$ e faccio al derivata rispetto a $t$ mi risulta $0$. Cosa sbaglio?
Ti ringrazio, questo mi è chiarissimo e infatti ho risolto anche l'altro problema. Tuttavia permane un dubbio.
Se volessi trovare lo stesso risultato usando questa formula, cosa dovrei fare? E' possibile?
$ Dvf(x)=varphi '(0) $ dove $ varphi (t)=f(x+tv) $
Perché se prendo la funzione con l'incremento $t^2/t^2+0=1$ e faccio al derivata rispetto a $t$ mi risulta $0$. Cosa sbaglio?
Quella "formula" (come la chiami tu) funziona quando sei già certo dell'esistenza delle derivate parziali della $f$. In questo caso, ovviamente, non puoi applicarla.
"ciampax":
Quella "formula" (come la chiami tu) funziona quando sei già certo dell'esistenza delle derivate parziali della $f$. In questo caso, ovviamente, non puoi applicarla.
Quella formula è solamente una riscrittura della definizione di derivata direzionale:
\[
\phi ' (t) = \lim_{h \to 0} \frac{\phi(t+h) - \phi(t)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + (t+h)\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v})}{h}
\]
e quindi:
\[
\phi ' (0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{h} = D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0)
\]
Quindi non servono ulteriori condizioni di esistenza.
"ciampax":
Quella "formula" (come la chiami tu) funziona quando sei già certo dell'esistenza delle derivate parziali della $f$. In questo caso, ovviamente, non puoi applicarla.
Non mi piace il tuo tono.
Nel caso di funzioni di due variabili la definizione generale da te indicata di derivata parziale secondo una certa direzione ( data dal vettore $ bar v =(v_1,v_2) $) diventa $ lim_(t rarr 0 )(f(x+t*v_1,y+t*v_2) -f(x,y))/t $ .
* Nel caso specifico $D_(e_2) (0,0) $ si ha che : $bar e_2 = (0,1) ,x=0, y=0 $ e quindi :
$D_(e_2)(0,0)= (del f(0,0))/(del y) = lim_( t rarr 0)(f(0+0*t,0+t)-f(0,0))/t = lim_(t rarr0 )(f(0,t)-f(0,0))/t = lim_(t rarr 0) (0-0)/t =0 $.
[Infatti $f(0,t)= 0/(0+t^2)=0 $].
Quindi la derivata parziale esiste nell'origine e vale $0 $.
Od anche usando l'altra definizione $Phi (t)= f(x+tv)= f(0+t*0,0+1*t)=f(0,t)= 0 $ e quindi $Phi ' (0)= 0 $ .
* $D_(e_1)(0,0) = (del f(0,0))/(del x) =lim_(t rarr 0 ) (f(0+1*t,0)-f(0,0))/t = lim_(t rarr 0) (f(t,0)-f(0,0))/t = lim_(t rarr 0) (1-0)/t = lim_(t rarr 0 ) 1/t $ che non essite finito , quindi nell'origine non esiste la derivata parziale rispetto ad $x $ della funzione in oggetto.[ in questo caso si ha $e_1 =(1,0 ) $].
* Nel caso specifico $D_(e_2) (0,0) $ si ha che : $bar e_2 = (0,1) ,x=0, y=0 $ e quindi :
$D_(e_2)(0,0)= (del f(0,0))/(del y) = lim_( t rarr 0)(f(0+0*t,0+t)-f(0,0))/t = lim_(t rarr0 )(f(0,t)-f(0,0))/t = lim_(t rarr 0) (0-0)/t =0 $.
[Infatti $f(0,t)= 0/(0+t^2)=0 $].
Quindi la derivata parziale esiste nell'origine e vale $0 $.
Od anche usando l'altra definizione $Phi (t)= f(x+tv)= f(0+t*0,0+1*t)=f(0,t)= 0 $ e quindi $Phi ' (0)= 0 $ .
* $D_(e_1)(0,0) = (del f(0,0))/(del x) =lim_(t rarr 0 ) (f(0+1*t,0)-f(0,0))/t = lim_(t rarr 0) (f(t,0)-f(0,0))/t = lim_(t rarr 0) (1-0)/t = lim_(t rarr 0 ) 1/t $ che non essite finito , quindi nell'origine non esiste la derivata parziale rispetto ad $x $ della funzione in oggetto.[ in questo caso si ha $e_1 =(1,0 ) $].
Grazie a tutti
@Emar: lo so cos'è, e so anche a cosa serve, ma ripeto che in questo caso non è applicabile.
@spremiagrumi: e che tono ho usato? Ho solo sottolineato che "formula" non è proprio la terminologia giusta.
@Camillo: e io che avevo scritto?
@spremiagrumi: e che tono ho usato? Ho solo sottolineato che "formula" non è proprio la terminologia giusta.
@Camillo: e io che avevo scritto?
"ciampax":
@Emar: lo so cos'è, e so anche a cosa serve, ma ripeto che in questo caso non è applicabile.
E perchè?
Il mio testo (PS) la da come definizione alternativa, senza coinvolgere i concetti di derivata parziale, di gradiente o di differenziabilità...
PS Che termine suggerisci al posto di "formula"?
Prova ad applicare la chain rule alla derivata di $\phi(t)$ e ti accorgerai che essa dipende dalle derivate parziali di $f$ che, in questo caso, come si vede da ciò che ho scritto prima, non esistono entrambe. La "definizione" qui presentata è analoga a quella di scrivere la derivata direzionale come $\nabla f\cdot v$, dove $v$ è un versore. Ecco perché non funziona!
Ci provo. Definendo $\mathbf{r}(t) = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}$, $\varphi(t) = f(\mathbf{r}(t))$ e quindi:
\[
\phi '(t) = \langle \nabla f(\mathbf{r}(t)), \mathbf{r}'(t) \rangle = \langle \nabla f(\mathbf{r}(t)), \mathbf{v} \rangle
\]
e quindi
\[\phi'(0) = \langle \nabla f(\mathbf{x}_0), \mathbf{v} \rangle\]
Ok, ci sono, ma non sono ancora del tutto convinto...
Mi sembra strano che questa "formula" venga messa, nel testo, lì così innocentemente
\[
\phi '(t) = \langle \nabla f(\mathbf{r}(t)), \mathbf{r}'(t) \rangle = \langle \nabla f(\mathbf{r}(t)), \mathbf{v} \rangle
\]
e quindi
\[\phi'(0) = \langle \nabla f(\mathbf{x}_0), \mathbf{v} \rangle\]
Ok, ci sono, ma non sono ancora del tutto convinto...
Mi sembra strano che questa "formula" venga messa, nel testo, lì così innocentemente
Il fatto è che, diciamo, viene usata quasi sempre. Tuttavia, come vedi da te, essendo presente il gradiente nel punto, per poterla applicare è necessaria l'esistenza delle derivate parziali. Ora, non so quale libro tu stia usando, ma sono quasi certo che da qualche parte faccia riferimento all'esistenza delle derivate parziali, senza necessariamente richiedere la differenziabilità (che sarebbe molto di più).
Il mio testo è il Pagani Salsa. Ciò a cui mi riferisco si trova a pagina 150, allego un immagine. Non mi pare si accenni alla necessità dell'esistenza delle derivate parziali (le definisce a pagina dopo)
Ti chiede che quel limite esiste finito nella direzione $v$ fissata e, in tal caso, ti dice che vale la regola di cui stiamo parlando. Ma se tale limite non esiste finito? Il fatto è che $v$ potrebbe essere una delle direzioni corrispondenti alle derivate parziali, per cui se una di queste non esiste, a me pare proprio che tu non possa applicare tale regola. O sbaglio? 
Mi dispiace ma non riesco ad afferrare il concetto.
Partendo dalla definizione di derivata direzionale, senza aggiungere alcuna ipotesi, posso arrivare a concludere che $D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \varphi '(0)$. Riporto i passaggi per verificare effettivamente di non commettere errori:
\[
D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0 + 0\mathbf{v})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{r}(t)) - f(\mathbf{r}(0))}{t}
\]
Dove $\mathbf{r}(t) = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}$. Definendo $\varphi := f \circ \mathbf{r}$:
\[
\lim_{t \to 0} \frac{\phi(0 + t) - \phi(0)}{t} = \phi '(t)
\]
Chiaramente se il limite non esiste finito la precedente uguaglianza non ha valore (così come la prima!).
A me tutto questo sembra lecito... Non trovo quale di queste uguaglianze potrebbe presentare problemi.
Ho riflettuto sul fatto della chain rule e, secondo me, per poterla applicare è necessario che le due funzioni coinvolte, $f$ e $\mathbf{r}$, siano differenziabili. Quindi, se tali ipotesi sono soddisfatte, allora si può applicare la chain rule e ricavare quindi l'espressione con il gradiente. In caso contrario non è possibile applicare la regola della catena e tantomeno utilizzarla per provare qualcosa.
Partendo dalla definizione di derivata direzionale, senza aggiungere alcuna ipotesi, posso arrivare a concludere che $D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \varphi '(0)$. Riporto i passaggi per verificare effettivamente di non commettere errori:
\[
D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0 + 0\mathbf{v})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{r}(t)) - f(\mathbf{r}(0))}{t}
\]
Dove $\mathbf{r}(t) = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}$. Definendo $\varphi := f \circ \mathbf{r}$:
\[
\lim_{t \to 0} \frac{\phi(0 + t) - \phi(0)}{t} = \phi '(t)
\]
Chiaramente se il limite non esiste finito la precedente uguaglianza non ha valore (così come la prima!).
A me tutto questo sembra lecito... Non trovo quale di queste uguaglianze potrebbe presentare problemi.
Ho riflettuto sul fatto della chain rule e, secondo me, per poterla applicare è necessario che le due funzioni coinvolte, $f$ e $\mathbf{r}$, siano differenziabili. Quindi, se tali ipotesi sono soddisfatte, allora si può applicare la chain rule e ricavare quindi l'espressione con il gradiente. In caso contrario non è possibile applicare la regola della catena e tantomeno utilizzarla per provare qualcosa.
"ciampax":
@Camillo: e io che avevo scritto?
E chi l'aveva visto ?
Ragazzi qualcuno può confermare e/o smentire quanto detto?
Riassumo il mio ragionamento.
Sia $\mathbf{r}(t) = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}$. Definendo $\varphi := f \circ \mathbf{r}$:
\[D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \phi '(0)
\]
Questa relazione vale sempre (per i calcoli vedere sopra), purché il limite sott'inteso esista, e non è richiesta nessuna regolarità sulle derivate per la $f$.
Se poi $f$ è differenziabile ci sono le ipotesi per applicare la chain rule ottenendo, come si sa:
\[D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \phi '(0) = (f \circ \mathbf{r})'(0) = \langle \nabla f(\mathbf{x}_0), \mathbf{v} \rangle
\]
E' corretto?
Attendo opinioni in merito
Riassumo il mio ragionamento.
Sia $\mathbf{r}(t) = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}$. Definendo $\varphi := f \circ \mathbf{r}$:
\[D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \phi '(0)
\]
Questa relazione vale sempre (per i calcoli vedere sopra), purché il limite sott'inteso esista, e non è richiesta nessuna regolarità sulle derivate per la $f$.
Se poi $f$ è differenziabile ci sono le ipotesi per applicare la chain rule ottenendo, come si sa:
\[D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \phi '(0) = (f \circ \mathbf{r})'(0) = \langle \nabla f(\mathbf{x}_0), \mathbf{v} \rangle
\]
E' corretto?
Attendo opinioni in merito
Corretto
Ti ringrazio 
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