Piccola serie...
Premetto che sono alle prime armi con le serie, quindi posto questo mio svolgimento non troppo convinto che sia giusto, in attesa di conferme..
Ho la serie $\sum_{n=1}^oo 1/n sin(1/(n+1))$
La successione $an$ è infinitesima, quindi la serie può convergere.
Poichè non è a termini positivi, studio la serie $\sum_{n=1}^oo 1/n |sin(1/(n+1))|$, e se questa converge per il criterio dell'assoluta convergenza converge anche quella iniziale. Questa nuova successione $|an|$ è a termini positivi, decrescente e infinitesima, quinid posso applicare il criterio di condensazione di Cauchy. Studio quindi la serie $\sum_{n=1}^oo 2^n 1/2^n sin(1/(2^n+1))$ = $\sum_{n=1}^oo sin(1/(2^n+1))$. Osservo che $1/(2^n +1) < 1/2^n$, quindi per il criterio del confronto, poichè $\sum_{n=1}^oo (1/2)^n$ converge, essendo una serie geometrica di ragione $1/2$, converge anche $\sum_{n=1}^oo 1/(2^n +1)$. Applicando il criterio del confronto asintotico, ho che $lim_(xto +oo) sin(1/(2^n+1))/(1/(2^n +1))=1$ poichè per $nto +oo$ $1/(2^n +1)to 0$, e quindi posso applicare il limite notevole $lim_(xto 0) sinx/x =1$.
Il limite è quindi $1 <+oo$, quindi la serie $\sum_{n=1}^oo sin(1/(2^n+1))$ converge. Ripercorrendo il tutto all'indietro posso concludere che $\sum_{n=1}^oo 1/n sin(1/(n+1))$ converge.
E' giusto?
Ho la serie $\sum_{n=1}^oo 1/n sin(1/(n+1))$
La successione $an$ è infinitesima, quindi la serie può convergere.
Poichè non è a termini positivi, studio la serie $\sum_{n=1}^oo 1/n |sin(1/(n+1))|$, e se questa converge per il criterio dell'assoluta convergenza converge anche quella iniziale. Questa nuova successione $|an|$ è a termini positivi, decrescente e infinitesima, quinid posso applicare il criterio di condensazione di Cauchy. Studio quindi la serie $\sum_{n=1}^oo 2^n 1/2^n sin(1/(2^n+1))$ = $\sum_{n=1}^oo sin(1/(2^n+1))$. Osservo che $1/(2^n +1) < 1/2^n$, quindi per il criterio del confronto, poichè $\sum_{n=1}^oo (1/2)^n$ converge, essendo una serie geometrica di ragione $1/2$, converge anche $\sum_{n=1}^oo 1/(2^n +1)$. Applicando il criterio del confronto asintotico, ho che $lim_(xto +oo) sin(1/(2^n+1))/(1/(2^n +1))=1$ poichè per $nto +oo$ $1/(2^n +1)to 0$, e quindi posso applicare il limite notevole $lim_(xto 0) sinx/x =1$.
Il limite è quindi $1 <+oo$, quindi la serie $\sum_{n=1}^oo sin(1/(2^n+1))$ converge. Ripercorrendo il tutto all'indietro posso concludere che $\sum_{n=1}^oo 1/n sin(1/(n+1))$ converge.
E' giusto?
Risposte
"alvinlee88":
... Poichè non è a termini positivi...
Perché no? Certo che è a termini positivi.
alvin forse qui ti conviene usare il confronto asintotico subito... dovrebbe venire semplice semplice...
"Tipper":
[quote="alvinlee88"]... Poichè non è a termini positivi...
Perché no? Certo che è a termini positivi.[/quote]
giusto
..chissà cosa avevo in mente ieri sera...per klarence..a me garba tanto complicarmi la vita....specie in tarda ora
"alvinlee88":
..chissà cosa avevo in mente ieri sera...
Te lo dico io: una serie a termini non positivi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo