Piano tangente funzioni a due variabili

[cata140793]

Ciao a tutti, spesso quando si tratta di funzioni a due variabili mi sorgono dubbi e perplessità tra piani, iperpiani, tangenti, superfici...
Sia $F(K,L)=K^(1/4)*L^(1/2)$

Devo calcolare l'equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto $(16,9)$, applico la formula corrispondente:
$y=F(K_°,L_°) + (delF)/(delL)(K_°,L_°) (K-K_°)+ (delF)/(delL) (K_°,L_°) (L-L_°)$
Numericamente, ottengo:
$y=1+1/8K+1/3L$
Successivamente, devo calcolare il piano tangente alla curva di livello, corrispondente al livello $Y=2$ nel punto $(1,4)$. Ragiono in questo modo:
$y-F(K_°,L_°)= (delF)/(delL)(K_°,L_°) (K-K_°)+ (delF)/(delL) (K_°,L_°) (L-L_°)$ (in sostanza sposto la funzione valutata nel punto a sinistra dell'equazione)
Con gli opportuni calcoli ottengo che il primo membro vale 0, il secondo invece vale: $1/2K+1/4L-3/2$

è corretto procedere in questo modo? Grazie a tutti in anticipo

[Otto_Lidenbrock]

Tutto sommato è corretto. Nel secondo caso il piano tangente passa nel punto di coordinate $(1,4,2)$.

Però vorrei chiederti. Ma allora l'equazione del piano tangente nel secondo caso qual è?

[pilloeffe]

Ciao Cate93,

La funzione proposta $Y = F(K, L) := K^{1/4} L^{1/2} $ è una funzione di Cobb-Douglas, per la quale sussistono da tempo diverse formule alle quali puoi dare un'occhiata:
https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_produzione_Cobb-Douglas
L'equazione del piano tangente non è quella che hai scritto, ma è la seguente:

$ Y = F(K_0,L_0) + (delF)/(delK)(K_0,L_0) (K-K_0) + (delF)/(delL) (K_0,L_0) (L-L_0) $

Si ha:

$ F(K_0,L_0) = F(16,9) = 2 \cdot 3 = 6 $

$ (delF)/(delK) = 1/4 K^{-3/4} L^{1/2} \implies (delF)/(delK)(K_0,L_0) = (delF)/(delK)(16, 9) = 1/4 \cdot 1/8 \cdot 3 = 3/32 $

$ (delF)/(delL) = 1/2 K^{1/4} L^{- 1/2} \implies (delF)/(delL)(K_0,L_0) = (delF)/(delL)(16, 9) = 1/2 \cdot 2 \cdot 1/3 = 1/3 $

Pertanto salvo errori l'equazione del piano tangente mi risulta la seguente:

$ Y = 6 + 3/32 (K - 16) + 1/3 (L - 9) = 6 + 3/32 K - 3/2 + 1/3 L - 3 = 3/2 + 3/32 K + 1/3 L $

In questo tipo di problemi tipicamente si cerca il massimo o il minimo della funzione di Cobb-Douglas sotto determinate condizioni di vincolo.

[cata140793]

Intanto ringrazio tutti per il tempo speso.
@gmorkk l'equazione nel secondo caso diventa: $1/2K+1/4L−3/2$
@pilloeffe Purtroppo spesso sbaglio nei calcoli, la formula è quella che ho scritto solo che al posto del K avevo messo (due volte) L, ovvero la seconda variabile.
Grazie