Piano tangente e derivata direzionale

[ironm73]

Ciao a tutti, sono nuovo in quest'area
sto svolgendo un esercizio sulla ricerca di piani tangenti e derivate direzionali (parliamo quindi di funzioni in 2 variabili) ma non sono sicurissimo di quello che faccio (mi sembra troppo semplice ) perciò riporto di seguito la traccia ed il mio svolgimento

TRACCIA

Determinare l'equazione del piano tangente al grafico della funzione seguente nel punto indicato a
fianco ad essa:

$ f(x,y)=x^3+x^2y+3y^2 $ in $ (1,1) $

In seguito calcolare la derivata direzionale nello stesso punto precedente lungo la
direzione del vettore:

$ v=(1,-1) $

SVOLGIMENTO

-Riguardo la prima parte, l'equazione del piano tangente in $ P(x_0,y_0) $ è:

$ Pi_tan(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)*(y-y_0) $

dove $ f_x(x_0,y_0) $ e $ f_y(x_0,y_0) $ sono le derivate nel punto P rispetto ad x ed y. Perciò:

$ f_x(x,y)=3x^2+2xy -> f_x(1,1)=5 $
$ f_y(x,y)=x^2+6y -> f_y(1,1)=7 $
$ f(1,1)=5 $

e quindi:

$ Pi_tan=5+5(x-1)+7(y-1)=5x+7y-7 $

-Per la seconda parte invece devo fare:

$ lim_(t -> 0)((f(t,-t)-f(1,1))/t)= lim_(t -> 0)((t^3-t^3+3t^2-5)/t)=-oo $.

Faccio bene o sbaglio/salto qualcosa? grazie in anticipo

[ironm73]

grazie mille!