Piano tangente al grafico

[luporaptor]

determinare per quale valore di a il piano tangente al grafico di $ f(x,y)=sin(ax+y^2) $ nel punto $ (0,sqrt(pi),0) $ è parallelo alla retta $ x=y=2z $ . Esistono valori di a per cui è perpendicolare?

ho calcolato il piano tangente che dobrebbe essere $ z=-a*x-2y^2+2sqrtpi*y $ ma ora ho dubbi su come procedere.....

[Nietzsche610]

In generale, per una superficie in forma esplicita, il gradiente è il vettore ortogonale alla superficie in un certo punto.
Quindi, per il tuo caso dovrai calcolare il gradiente (che avrà componente su z ovviamente nulla, dato che $f$ non ne ha dipendenza, quindi qui hai già sbagliato qualcosa..). A questo punto l'equazione del piano tangente in $P$, sarà:

$(\delf)/(\delx)|_0x+(\delf)/(\dely)|_sqrt(\pi)y+(\delf)/(\delz)|_0z+c=0->\nablaf|_P*\bbx+c=0$.

A questo punto puoi ricavare $c$, imponendo che il gradiente sia ortogonale al vettore direzionale della retta.