Piano tangente ad una superficie
Salve a tutti, è il mio primo post, spero di non andare contro nessuna regola appena letta nel regolamento!
Come da titolo, sto sbattendo la testa contro l'argomento "piano tangente ad una superficie".
In realtà un esercizio:
Sia S la superficie del paraboloide di equazione $ z = 1-x^2-y^2 $ contenuta
nel semispazio $ z>= 0 $ ed orientata in modo che la terza componente della
normale risulti positiva. Scrivere l'equazione del piano tangente ad S nel punto $ (0,0,1) $
Nell'esercizio poi richiede anche la superficie e il calcolo di un flusso ma a me per ora interessa solo il piano tangente(quindi credo che le informazioni sull'orientamento non mi debbano preoccupare più di tanto).
Comunque l'esercizio l'ho risolto trovandomi le derivate parziali e poi sostituendo ad x e y, le coordinate del punto mediante questa formula:
$ grad(f(P))=(df)/(∂x)(x0,y0)(x−x0)+(∂f)/(∂y)(x0,y0)(y−y0)+(df)/(dz)(z-z0). $ e mi trovo z = 1. So che esiste anche un'altra formula:
$ z−f(x0,y0)=(∂f/∂x)(x0,y0)(x−x0)+(∂f/∂y)(x0,y0)(y−y0). $ ma non capisco se sono la stessa cosa e sopratutto non ho capito bene come si utilizza.
Comunque i problemi sono sorti con altri 2 esercizi:
1)Sia S la superficie ottenuta dalla rotazione di un angolo piatto attorno
all'asse z del segmento $ z = 1 - x $ con $ x in [1,3] $ e sia S orientata in modo che
la terza componente della normale risulti positiva. Scrivere l'equazione del piano tangente ad S nel punto $ (sqrt2,sqrt2,-1) $
2)Sia S la superficie di equazione $ x^2+y^2+4z^2=1 $ contenuta nel semispazio $ z>=0 $ e orientata in maniera tale che la terza componente del vettore normale sia positiva. Scrivere l'equazione del piano tangente ad S nel punto $ (0,0) $
Nel primo caso non ho capito proprio come impostarlo, nel secondo invece leggendo in questo forum ho provato ad esplicitare la superficie mettendo z in evidenza ma in entrambi i casi(esplicitando o meno) le derivate parziali sono quindi quando vado ad applicare quella formula mi trovo 0.
Scusate per il post superlungo ma avevo tantissime domande, spero possiate aiutarmi. Grazie mille
Come da titolo, sto sbattendo la testa contro l'argomento "piano tangente ad una superficie".
In realtà un esercizio:
Sia S la superficie del paraboloide di equazione $ z = 1-x^2-y^2 $ contenuta
nel semispazio $ z>= 0 $ ed orientata in modo che la terza componente della
normale risulti positiva. Scrivere l'equazione del piano tangente ad S nel punto $ (0,0,1) $
Nell'esercizio poi richiede anche la superficie e il calcolo di un flusso ma a me per ora interessa solo il piano tangente(quindi credo che le informazioni sull'orientamento non mi debbano preoccupare più di tanto).
Comunque l'esercizio l'ho risolto trovandomi le derivate parziali e poi sostituendo ad x e y, le coordinate del punto mediante questa formula:
$ grad(f(P))=(df)/(∂x)(x0,y0)(x−x0)+(∂f)/(∂y)(x0,y0)(y−y0)+(df)/(dz)(z-z0). $ e mi trovo z = 1. So che esiste anche un'altra formula:
$ z−f(x0,y0)=(∂f/∂x)(x0,y0)(x−x0)+(∂f/∂y)(x0,y0)(y−y0). $ ma non capisco se sono la stessa cosa e sopratutto non ho capito bene come si utilizza.
Comunque i problemi sono sorti con altri 2 esercizi:
1)Sia S la superficie ottenuta dalla rotazione di un angolo piatto attorno
all'asse z del segmento $ z = 1 - x $ con $ x in [1,3] $ e sia S orientata in modo che
la terza componente della normale risulti positiva. Scrivere l'equazione del piano tangente ad S nel punto $ (sqrt2,sqrt2,-1) $
2)Sia S la superficie di equazione $ x^2+y^2+4z^2=1 $ contenuta nel semispazio $ z>=0 $ e orientata in maniera tale che la terza componente del vettore normale sia positiva. Scrivere l'equazione del piano tangente ad S nel punto $ (0,0) $
Nel primo caso non ho capito proprio come impostarlo, nel secondo invece leggendo in questo forum ho provato ad esplicitare la superficie mettendo z in evidenza ma in entrambi i casi(esplicitando o meno) le derivate parziali sono quindi quando vado ad applicare quella formula mi trovo 0.
Scusate per il post superlungo ma avevo tantissime domande, spero possiate aiutarmi. Grazie mille
Risposte
premesso che non so quanto abbia senso affrontare esercizi che richiedono conoscenze che magari non si hanno ancora,rispondo alla 1
abbiamo a che fare con metà tronco di cono,una cui parametrizzazione è $ { ( x=ucostheta ),( y=usentheta ),( z=1-u ):} $
con
$u in [1,2];theta in [0,3]$
che porta all'equazione cartesiana $z=1-sqrt(x^2+y^2)$
abbiamo a che fare con metà tronco di cono,una cui parametrizzazione è $ { ( x=ucostheta ),( y=usentheta ),( z=1-u ):} $
con
$u in [1,2];theta in [0,3]$
che porta all'equazione cartesiana $z=1-sqrt(x^2+y^2)$
Ti ringrazio per la risposta e in effetti concordo con te ma non riesco a capire proprio come affrontare questa tipologia di esercizi. Perché a volte si parametrizza la sup e altre volte invece si ricorre alle formule che ho scritto sopra. Sto cercando ovunque delle linee guida da seguire(la parte teorica la ho) per gli esercizi. Sapresti indirizzarmi su qualche post o sito che svolge esercizi come questo?
Ti ringrazio
Ti ringrazio
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