Piano tangente

[floyd1231]

Ciao a tutti, devo determinare l'equazione del piano tangente al grafico della funzione $ e^(x^2(1-x)y) $ nel punto $ (2, 0, 1) $. Ora, le mie domande sono due: essendo la funzione monotona, posso limitarmi a studiare solamente $ (x^2(1-x)y) $; cosa devo andare a sostituire con la coordinata $ 1 $ del punto che mi viene dato? Io non ho nessuna $ z $ da sostituire.

[pilloeffe]

Ciao floyd123,

L'equazione del piano tangente alla funzione $z = f(x,y) = e^(x^2(1-x)y) $ nel punto $(x_0, y_0, z_0) = (2, 0, 1) $ è la seguente:

$ z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) $

ove $f(x_0, y_0) = z_0 = 1 $

[floyd1231]

Grazie mille pilloeffe
Dunque, essendo la funzione monotona, per i punti critici e per il piano tangente posso limitarmi a considerare solamente $ (x^2(1-x)y) $?

[Bokonon]

"floyd123":
Dunque, essendo la funzione monotona, per i punti critici e per il piano tangente posso limitarmi a considerare solamente $ (x^2(1-x)y) $?

No.
La funzione che ti hanno dato non ti piace proprio?
$ \frac{\partial f}{\partial x}=y(2x-3x^2)e^(x^2(1-x)y)$
$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2(1-x)e^(x^2(1-x)y)$
Sostituendo ottieni rispettivamente 1 e -4
$f(2,0)=1$
Quindi applichi la formuletta.

Un modo creativo per vedere geometricamente il piano, è usando i vettori.
La $ \frac{\partial f}{\partial x}$ nel punto (2,0,1) significa che l'inclinazione del piano rispetto alla x è 1.
Quindi il vettore A=(1,0,1) mi da una direzione.
Analogo discorso per l'inclinazione del piano rispetto a y: ovvero Il vettore B=(0,1,-4).
Tutti i vettori di un piano $ax+by+cz=d$ sono perpendicolari alla medesima direzione, al vettore C=(a,b,c).
Quindi ricaviamolo da A e B e otteniamo C=(-1,4,1).
Ora abbiamo il piano che passa per l'origine con le dovute inclinazioni, ovvero $x-4y-z=0$ e dobbiamo traslarlo, ovvero trovare d, imponendo che passi per il punto (2,0,1).
Quindi $d=-1*2+4*0+1*1=-1$
Quindi il piano tangente è $x-4y-z-1=0$

[floyd1231]

"Bokonon":[quote="floyd123"]
Dunque, essendo la funzione monotona, per i punti critici e per il piano tangente posso limitarmi a considerare solamente $ (x^2(1-x)y) $?

No.
La funzione che ti hanno dato non ti piace proprio?
$ \frac{\partial f}{\partial x}=y(2x-3x^2)e^(x^2(1-x)y)$
$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2(1-x)e^(x^2(1-x)y)$
Sostituendo ottieni rispettivamente 1 e -4
$f(2,0)=1$
Quindi applichi la formuletta.

Un modo creativo per vedere geometricamente il piano, è usando i vettori.
La $ \frac{\partial f}{\partial x}$ nel punto (2,0,1) significa che l'inclinazione del piano rispetto alla x è 1.
Quindi il vettore A=(1,0,1) mi da una direzione.
Analogo discorso per l'inclinazione del piano rispetto a y: ovvero Il vettore B=(0,1,-4).
Tutti i vettori di un piano $ax+by+cz=d$ sono perpendicolari alla medesima direzione, al vettore C=(a,b,c).
Quindi ricaviamolo da A e B e otteniamo C=(-1,4,1).
Ora abbiamo il piano che passa per l'origine con le dovute inclinazioni, ovvero $x-4y-z=0$ e dobbiamo traslarlo, ovvero trovare d, imponendo che passi per il punto (2,0,1).
Quindi $d=-1*2+4*0+1*1=-1$
Quindi il piano tangente è $x-4y-z-1=0$[/quote]

Grazie Bokonon! Ma il valore della derivata parziale rispetto a $ x $ della funzione in $ 2,0 $ non è $ 0 $?

[Bokonon]

"floyd123":
Grazie Bokonon! Ma il valore della derivata parziale rispetto a $ x $ della funzione in $ 2,0 $ non è $ 0 $?

Ops
Hai ragione
E non era facile sbagliare la sostituzione...LOL
...quindi il problema è ancora più banale.

P.S. Quindi il vettore A diventa (1,0,0)
Prova a risolverlo anche "geometricamente"

[floyd1231]

Perfetto, grazie mille!