Piano rettificante

[marco.ceccarelli]

Buongiorno,

ho dubbi nel determinare il piano rettificante nel seguente esercizio.

Data la cubica gobba $alpha(t)=((t),(t^2),(2t^3))$, determinare il triedro di Frenet e le equazioni dei piani osculatore, normale, rettificante, per il valore $t=1$, ovvero nel punto $a(1)=((1),(1),(2))$.

$alpha'(t)=((1),(2t),(6t^2)) rarr alpha'(1)=((1),(2),(6)) rarr |alpha'(1)|=sqrt(41)$

$T(t):=(alpha'(t))/|alpha'(t)| rarr T(1)=1/sqrt(41)((1),(2),(6))$

$alpha''(t)=((0),(2),(12t)) rarr alpha''(1)=((0),(2),(12))$

$alpha'(1) ^^ alpha''(1)=((12),(-12),(2)) rarr |alpha'(1) ^^ alpha''(1)|=2sqrt(73)$

$B(t):=(alpha'(t) ^^ alpha''(t))/|alpha'(t) ^^ alpha''(t)| rarr B(1)=1/sqrt(73)((6),(-6),(1))$

$N(t):=B(t) ^^ T(t) rarr N(1)=1/sqrt(2993)((38),(35),(-18))$

Ora sfrutto le formule proposte nel libro di teoria di Capparelli e Del Fra (immagine in seguito).

Piano osculatore in $alpha(bart)$: $B_1(x-x(bart))+B_2(y-y(bart))+B_3(z-z(bart))=0$.

$pi_O: 6x-6y+z-2=0$

Piano normale in $alpha(bart)$: $x'(bart)(x-x(bart))+y'(bart)(y-y(bart))+z'(bart)(z-z(bart))=0$.

$pi_N: x+2y+6z-15=0$

Come testo nascosto ho inserito i passaggi precedenti, dopodiché il libro di teoria e quello di esercizi degli stessi autori (Capparelli e Del Fra) propongono $2$ modi diversi per determinare il piano rettificante: dovrebbero dare lo stesso risultato, ma così non è (o almeno non sembra).

Libro di teoria:



Nel mio caso $pi_R: y+6z-13=0$, che però è una retta.

Libro di esercizi:



Nel mio caso $pi_R: 38x+35y-18z-37=0$.

Grazie.

[Magma1]

Perché dici che sia una retta? $ pi_R: y+6z-13=0 $ In $RR^3$ una retta è data dall'intersezione di due piani...

Comunque dovresti controllare i calcoli, e soprattutto i segni quando usi il secondo metodo, perché le due equazioni devono essere proporzionali

[donald_zeka]

Qual è la definizione di piano rettificante? Basta solo la definizione per calcolarla, senza andare a ricercare inutili formule che poi sono pure sbagliate.

[marco.ceccarelli]

"Magma":Perché dici che sia una retta? $ pi_R: y+6z-13=0 $ In $ RR^3 $ una retta è data dall'intersezione di due piani...

Comunque dovresti controllare i calcoli, e soprattutto i segni quando usi il secondo metodo, perché le due equazioni devono essere proporzionali

Grazie per la risposta. Ho ricontrollato, ma i conti sono giusti. Forse il $1°$ metodo si riferisce solo all'ascissa curvilinea $s$ e non alla generica $t$. In quel caso comunque ottenevo una retta intersezione di $2$ piani, ma pur sempre una retta. Quindi per me comunque non avrebbe potuto rappresentare "un piano generato da $T,B$, quindi ortogonale a $N$", come da definizione.

"Vulplasir":Qual è la definizione di piano rettificante? Basta solo la definizione per calcolarla, senza andare a ricercare inutili formule che poi sono pure sbagliate.

Grazie, Vulplasir. Sì, in effetti avrei potuto verificare con la definizione. Il piano rettificante passa per $alpha(bart)$ ed è ortogonale a $N(bart)$. Quindi ricordando che il piano per un punto $((x_0),(y_0),(z_0))$ ortogonale ad un vettore $((a),(b),(c))$ è $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, in questo caso si ottiene il risultato del "$2°$ metodo" (che è quindi quello giusto). D'altronde il "$1°$ metodo" era anche relativo ai piani osculatore e normale, ma in quei casi ci azzeccava perché era proprio la definizione.

[Magma1]

"Bubbino1993":Forse il $1°$ metodo si riferisce solo all'ascissa curvilinea $s$ e non alla generica $t$.

Per curiosità: qual è "l'ipotesi della Proposizione 13.8.1?"

[marco.ceccarelli]

I libri sono su internet, ma mancano alcune pagine (tra cui quella).

Comunque riguardo al discorso di prima sulle rette come intersezioni di $2$ piani nello spazio, non ho capito una cosa. Come consigliato da Vulplasir, sto continuando ad applicare le definizioni anziché andarmene a cercare formule di dubbia correttezza. In un esercizio analogo però, pur applicando la definizione, trovo un piano normale di equazione $pi_N: -2x+y=0$. Il piano normale è generato da $N,B$ (ortogonale a $T$), ma se ha quell'equazione lì non è una retta? L'esercizio è il seguente, in cui metto come testo nascosto le parti precedenti.

E' data la curva regolare $alpha(t)=((2-t^2),(1+t),(4+2t-t^2))$.

$a)$ Determinare l'equazione della retta tangente nel punto $alpha(0)$.

$alpha(0)=((2),(1),(4))$

$alpha'(t)=((-2t),(1),(2-2t)) rarr alpha'(0)=((0),(1),(2))$

$r(0)=alpha(0)+talpha'(0)=((2),(1+t),(4+2t))$

$b)$ Determinare curvatura e torsione della curva nel generico punto $alpha(t)$.

$|alpha'(t)|=sqrt(8t^2-8t+5), alpha''(t)=((-2),(0),(-2))$

$alpha'(t) ^^ alpha''(t)=((-2),(-4),(2)) rarr |alpha'(t)^^alpha''(t)|=2sqrt6$

$k(t):=(|alpha'(t) ^^ alpha''(t)|)/(|alpha'(t)|^3)=(2sqrt6)/(8t^2-8t+5)^(3/2)$

$alpha'''(t)=0 rarr tau(t)=0$

$c)$ Determinare il triedro di Frenet per il valore $t=1$ e l'equazione di ciascuno dei piani: osculatore, normale, rettificante.

$alpha'(1)=((-2),(1),(0)) rarr |alpha'(1)|=sqrt5$

$T(t):=(alpha'(t))/|alpha'(t)| rarr T(1)=1/sqrt5((-2),(1),(0))$

$B(t):=(alpha'(t)^^alpha''(t))/|alpha'(t)^^alpha''(t)| rarr B(1)=1/sqrt6((-1),(-2),(1))$

$N(t):=B(t) ^^ T(t) rarr N(1)=1/sqrt(30)((1),(2),(5))$

$alpha(1)=((1),(2),(5))$

$pi_O: -x-2y+z=0, pi_N: -2x+y=0, pi_R: x+2y+5z-10=0$

Ho notato che, poiché la torsione è nulla, la curva è piana. Non so se c'entra qualcosa.

Grazie.

[donald_zeka]

Non ho capito qual è il tuo dubbio, quello sulla retta? Se così la risposta è chiaramente no, $ -2x+y=0$ è un piano. L'equazione cartesiana di un piano ha la forma : $ax+by+cz+d=0$, con $a,b,c$ non contemporaneamente nulli, e quell'equazione di prima rientra in quella categoria. Pensi che sia una retta perché ragioni in due dimensioni, quando sei sul piano xy, ossia sul piano z=0, quella lì è una retta, ma lo è perché implicitamente si è assunto z=0, ossia l'equazione della retta non è data solo da -2x+y=0, ma anche dal vincolo z=0, ed essendo z=0 e -2x+y=0 due piani, la loro interszione è una retta. Quindi come ti è stato detto, una retta è intersezione di due piani, ma -2x+y=0 è un piano, se invece lo metti a sistema con z=0 ottieni la retta -2x+y=0 nel piano cartesiano xy.

[marco.ceccarelli]

E' vero, ora l'ho visualizzato anche mentalmente. Sì, il dubbio era quello ed era motivato dal fatto che mi veniva spontaneo ragionare in $2D$. Grazie ancora.