Piano delle fasi e cambi di variabile

[malgracio]

Ciao a tutti,
mi dareste una spintarella per sbloccarmi su questo esercizio?

devo trovare le traiettorie sul piano delle fasi del sistema lineare:
$ { ( x' = x - y ),( y' = x+y ):} $

Allora...
mi sono trovato gli autovalori: $lambda_1 = 1 - i$ e $lambda_2 = 1+ i$
vedendo come sono, ho già nasato che che, avendo la parte reale positiva, avrò instabilità.

vado per trovare le traiettorie:
(1) $ (partial y)/(partial x)=(x+y)/(x-y)rArr (x-y)partial y=(x+y)partial x $

a questo punto decido di fare un cambiamento di coordinate passando a quelle polari:
$ { ( x = rho cos phi ),(y= rho sin phi ):}rArr { ( partial x = cos phi *partial rho-rhosin phi*partial phi),( partial y = sin phi *partial rho+rho cos phi*partial phi ):} $

sostituendo tutto nella (1)... e raccogliendo/semplificando tutto quello che posso, arrivo a...
$ rho partial phi = partial rho $

... e poi non riesco a capire come faccia ad arrivare ad una equazione di spirale.

[malgracio]

...mi ero dimenticato della chiusura dell'esercizio:
$ (partial rho)/(rho) = partial phi rArr ln rho = phi rArr rho = k e^phi $
che è la spirale logaritmica.

prima mi ero calcolato gli autovalori: avendo parte Re > 0, dico che è spirale instabile.

[gugo82]

Per farla più facile, considera la funzione ausiliaria:
\[
R(t) := x^2(t) + y^2(t)\; ;
\]
chiaramente \(R\in C^1\) ed, usando il sistema, essa soddisfa:
\[
\begin{split}
\dot{R} (t) &= 2\ x(t)\ \dot{x}(t) + 2\ y(t)\ \dot{y}(t) \\
&= 2 x^2(t) + 2 y^2(t)\\
&=2 R(t)\; ,
\end{split}
\]
cosicché:
\[
R(t) = R_0\ e^{2t}\; ,
\]
in cui \(R_0:=x_0^2+y_0^2\geq 0\). Di qui segue subito che il modulo del raggio vettore è:
\[
r(t) := \sqrt{R(t)} = \sqrt{R_0}\ e^t
\]
e quindi le traiettorie sono spirali.