Piani paralleli

[xnix]

$f(x,y)= x+2y^2$ con $(x,y)in RR^2$ stabilire un piano parallelo al piano tangente al grafico nel punto $P=(11,3)$... ho trovato il piano tangente nel punto $P$ che è: $z=x+12y-18$ ora per trovare un piano parallelo a questo posso pensare che, per ovvietà, non avranno nessuna intersezione e che possono solo differire di una costante numerica $k$. quindi avrei $z=x+12y-18+k$, giusto ?

[s.stuv]

Sì, l'idea è quella. I piani \( z = x+12y+k \) con \( k \in \mathbb{R} \) sono tutti e soli i piani paralleli al piano assegnato. In generale, se ti è dato il piano
\[
\pi_0 \colon \alpha \cdot x = k_0
\]
con \( k_0 \) fissato, la famiglia dei piani paralleli a \( \pi_0 \) è individuata dalle equazioni
\[
\pi_k \colon \alpha \cdot x = k
\]
al variare di \( k \) nei reali. Ovviamente, qui il \( \cdot \) denota il prodotto scalare euclideo di \( \mathbb{R}^3 \).