Persistenza degli o piccolo nelle applicazioni degli sviluppi di Taylor
Persistenza degli o piccolo nelle applicazioni degli sviluppi di Taylor
Ho il seguente limit che ho calcolato con successo a viewtopic.php?f=36&t=170279#p8255202 ma ora ho un dubbio sugli o-piccolo.[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(\frac{\sin\left(2x\right)}{x}-1\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(\frac{1}{x}\left(2x-\frac{\left(2x\right)^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)\right)-1\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(2-\frac{4}{3}x^{2}+o\left(x^{3}\right)-1\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(1-\frac{4}{3}x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e^{\frac{2}{x^{2}}\ln\left(1-\frac{4}{3}x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)}[/tex] adesso applico lo sviluppo di Taylor del logaritmo [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e^{\frac{2}{x^{2}}\left(-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}x^{2}\right)^{2}+o\left(x^{4}\right)\right)}[/tex] volevo sapere se a vostro avviso è giusta l'operazione fatta per quanto riguarda gli o piccoli, in particolare nel passaggio dall'applicazione dello sviluppo di Taylor del logaritmo
Grazie
Ho il seguente limit che ho calcolato con successo a viewtopic.php?f=36&t=170279#p8255202 ma ora ho un dubbio sugli o-piccolo.[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(\frac{\sin\left(2x\right)}{x}-1\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(\frac{1}{x}\left(2x-\frac{\left(2x\right)^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)\right)-1\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(2-\frac{4}{3}x^{2}+o\left(x^{3}\right)-1\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\left(1-\frac{4}{3}x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)^{\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e^{\frac{2}{x^{2}}\ln\left(1-\frac{4}{3}x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)}[/tex] adesso applico lo sviluppo di Taylor del logaritmo [tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}e^{\frac{2}{x^{2}}\left(-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}x^{2}\right)^{2}+o\left(x^{4}\right)\right)}[/tex] volevo sapere se a vostro avviso è giusta l'operazione fatta per quanto riguarda gli o piccoli, in particolare nel passaggio dall'applicazione dello sviluppo di Taylor del logaritmo
Grazie
Risposte
III passaggio: $(o(x^3))/x = o(x^2)$
Inoltre si può fare un pochino meglio alla fine: $log(1 + y) = y + o(y)$, che nel tuo caso diventa $- 4/3 x^2 + o(x^3) + o( - 4/3 x^2 + o(x^3) ) = - 4/3 x^2 + o(x^2)$. Direi che ti basta questo, infatti:
\[ \lim_{x \to 0} e^{\frac{2}{x^{2}}\left(-\frac{4}{3}x^{2} +o\left(x^{2}\right)\right)} =\lim_{x \to 0} e^{\left(-\frac{8}{3} +o\left(1\right)\right)} = e^{\left(-\frac{8}{3} \right )} \]
Inoltre si può fare un pochino meglio alla fine: $log(1 + y) = y + o(y)$, che nel tuo caso diventa $- 4/3 x^2 + o(x^3) + o( - 4/3 x^2 + o(x^3) ) = - 4/3 x^2 + o(x^2)$. Direi che ti basta questo, infatti:
\[ \lim_{x \to 0} e^{\frac{2}{x^{2}}\left(-\frac{4}{3}x^{2} +o\left(x^{2}\right)\right)} =\lim_{x \to 0} e^{\left(-\frac{8}{3} +o\left(1\right)\right)} = e^{\left(-\frac{8}{3} \right )} \]
Grande, grazie mille. Per quanto riguarda il mio "eccedere" nell'uso degli ordini negli sviluppi di Taylor, preferisco andare generalmente fino al ~3 ordine in quanto ho visto che alcuni esercizi di questo professore non vengono corretti se si usano ordini molto bassi nei suddetti sviluppi
Scusate, sto svolgendo alcuni esercizi, ed ho avuto un altro piccolo dubbio sugli o-piccolo, dato che questa discussione era ben impostata, ho deciso di continuare a scrivere qui piuttosto che aprire una nuova discussione.
Durante lo svolgimento del limite viewtopic.php?f=36&t=169738&start=10
arrivo a questo punto
[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{16}{3}x^{4}+\frac{x^{6}}{5!}+o\left(x^{6}\right)}{\frac{x^{4}}{12}+o\left(x^{4}\right)}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{16}{3}x^{4}\left(1+o\left(1\right)\right)}{\frac{x^{4}}{12}+o\left(x^{4}\right)}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{16}{3}x^{4}\left(1+o\left(1\right)\right)}{\frac{x^{4}}{12}\left(1+o\left(1\right)\right)}=-64[/tex]
volevo sapere in particolare se la parte al denominatore è giusta.
P.S. non fate caso al fatto che il limite dovrebbe venire [tex]\frac{64}{3}[/tex], il mio dubbio è sugli o-piccolo
Durante lo svolgimento del limite viewtopic.php?f=36&t=169738&start=10
arrivo a questo punto
[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{16}{3}x^{4}+\frac{x^{6}}{5!}+o\left(x^{6}\right)}{\frac{x^{4}}{12}+o\left(x^{4}\right)}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{16}{3}x^{4}\left(1+o\left(1\right)\right)}{\frac{x^{4}}{12}+o\left(x^{4}\right)}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{-\frac{16}{3}x^{4}\left(1+o\left(1\right)\right)}{\frac{x^{4}}{12}\left(1+o\left(1\right)\right)}=-64[/tex]
volevo sapere in particolare se la parte al denominatore è giusta.
P.S. non fate caso al fatto che il limite dovrebbe venire [tex]\frac{64}{3}[/tex], il mio dubbio è sugli o-piccolo
Il raccoglimento che riporti è corretto. Da dove viene il tuo dubbio?
"Seneca":
Il raccoglimento che riporti è corretto. Da dove viene il tuo dubbio?
Il mio dubbio è su [tex]\frac{x^{4}}{12}+o\left(x^{4}\right)[/tex] che diventa [tex]\frac{x^{4}}{12}\left(1+o\left(1\right)\right)[/tex]
Grazie!
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