Perplessità sul differenziale nella teoria della Riemann-integrazione
Salve, ragazzi, ho alcuni dubbi sull'amichetto dx che figura nel calcolo di un integrale di Riemann. Mi chiedo: se integro una funzione nella variabile x, l'aggiunta del dx dipende dal fatto che sto integrando? Cioè, mi spiego: il dx fa parte del simbolo di integrazione? Altra domanda: se ho un'equazione in cui figura nel membro sinistro una funzione nella variabile x e a destra una funzione nella variabile y, integrando ambo i membri come stabilisco se integrare in dx o in dy? Altra domanda: perché se una funzione è compresa già del dx quando integro ometto l'aggiunta di un altro dx? Ultima domanda: se con opportune semplificazioni mi libero del dx nell'integrale ottenendo così un integrale in cui integro la funzione integranda, ottenuta con semplificazione, in una nuova variabile, devo operare delle sostituzioni e cambiare gli estremi? Pensate ad esempio all'integrale di un flusso di cariche non costante nel tempo che con opportune semplificazioni diventa l'integrale di una funzione costante integrata rispetto alla carica. Non so se sono stato chiaro ma intendo risolvere questi dubbi una volta per tutte. Grazie mille e a presto!
Risposte
Dalle tue domande mi sembra di capire che stai facendo un corso di fisica, perché solo lì si trattano i $dx$ in quel modo 
La risposta matematica è sì: il $dx$ non è altro che un simbolo. Il problema è che, per quanto ne so, in fisica si tende a trattare i dx come se fossero numeri. In questo modo le dimostrazioni non sono più rigorose, perché le operazioni tra $dx$ non sono definite, ciononostante i risultati sono corretti (per il semplice fatto che in realtà si potrebbero fare con passaggi matematicamente più rigorosi).
Anche le domande successive che hai fatto mi sembra che derivino da questo: cercare di rendere matematicamente rigorosi dei passaggi che magari ti sono stati spiegati in modo un po' superficiale trattando i $dx$ come se fossero numeri normali. Nella maggior parte dei casi per renderli rigorosi basta applicare il metodo di sostituzione.
"AlanTuringIsAlive":
Mi chiedo: se integro una funzione nella variabile x, l'aggiunta del dx dipende dal fatto che sto integrando? Cioè, mi spiego: il dx fa parte del simbolo di integrazione?
La risposta matematica è sì: il $dx$ non è altro che un simbolo. Il problema è che, per quanto ne so, in fisica si tende a trattare i dx come se fossero numeri. In questo modo le dimostrazioni non sono più rigorose, perché le operazioni tra $dx$ non sono definite, ciononostante i risultati sono corretti (per il semplice fatto che in realtà si potrebbero fare con passaggi matematicamente più rigorosi).
Anche le domande successive che hai fatto mi sembra che derivino da questo: cercare di rendere matematicamente rigorosi dei passaggi che magari ti sono stati spiegati in modo un po' superficiale trattando i $dx$ come se fossero numeri normali. Nella maggior parte dei casi per renderli rigorosi basta applicare il metodo di sostituzione.
Ciao, potresti riportare un esempio per ciascuna domanda che poni? Così è un po' difficile capire di che cosa stai parlando. Basta anche una formuletta o un passaggio esemplificativo.
Purtroppo non ho avuto tempo a disposizione per cimentarmi con la scrittura delle formule matematiche. Però, se lo tollerate, posso scrivere in modo 'poco chiaro'. Allora, i miei dubbi sono:
1) Se devo integrare f(x) = cos (x)dx, devo aggiungere un altro dx ottenendo dunque l'integrale di cos(x)(dx)^2? Se no, allora confermate che il dx fa semplicemente parte del simbolo di integrazione?
2) Se ho un'equazione del tipo: 2cos (x) = log (y), quando integro ad entrambi i membri quale differenziale uso, dx o dy? Oppure integro 2cos (x) in dx e log (y) in dy?
3) Se esprimo la carica come integrale della corrente cioè q (t) = integrale di i (t) dt, sapendo che i(t), se il flusso di cariche è non costante nel tempo si può esprimere come i (t) = dq/dt, semplificando dt e dt nell'integrale, allora devo operare qualche sostituzione dato che sto integrando ora in dq o semplicemente posso passare direttamente al calcolo dell'integrale?
1) Se devo integrare f(x) = cos (x)dx, devo aggiungere un altro dx ottenendo dunque l'integrale di cos(x)(dx)^2? Se no, allora confermate che il dx fa semplicemente parte del simbolo di integrazione?
2) Se ho un'equazione del tipo: 2cos (x) = log (y), quando integro ad entrambi i membri quale differenziale uso, dx o dy? Oppure integro 2cos (x) in dx e log (y) in dy?
3) Se esprimo la carica come integrale della corrente cioè q (t) = integrale di i (t) dt, sapendo che i(t), se il flusso di cariche è non costante nel tempo si può esprimere come i (t) = dq/dt, semplificando dt e dt nell'integrale, allora devo operare qualche sostituzione dato che sto integrando ora in dq o semplicemente posso passare direttamente al calcolo dell'integrale?
1) \(\cos x \ dx\) non è una funzione, quindi non la puoi integrare. Questo perché il \(dx\) è un simbolo che fa parte dell'integrazione. È "come se" \(dx\) chiudesse una parentesi aperta da \(\int\).
2) Quello che dici ha senso solo se esiste una relazione tra \(y\) e \(x\), ad esempio che \(y = y(x)\). In questo caso integri rispetto alla variabile \(x\) in entrambi i lati, e quindi avrai
\[
\int 2 \cos x \ dx = \int \log(y(x)) \ dx
\]
3) NON si "semplificano \(dt\) e \(dt\)", perché \(\frac{dq}{dt}\) NON è una frazione. \(\frac{dq}{dt}\) è un simbolo il cui significato è equivalente a \(q'(t)\). Quindi avrai
\[
q(t) = \int q'(t) \ dt
\]
e devi procedere con le formule di integrazione delle funzioni composte.
L'ultima equazione che ho scritto, però, è scritta veramente male, tanto da essere scorretta. Il modo corretto di scriverla è il seguente:
\[
q(t) = \int q'(s) \ ds
\]
dove \(s\) è una variabile ausiliaria che serve per non creare ambiguità con \(t\).
In realtà anche così non va completamente bene: la scrittura più corretta di tutte è quella come integrale definito:
\[
q(t) = q(t_0) + \int_{t_0}^t q'(s) \ ds = q(t_0) + \int_{t_0}^t i(s) \ ds
\]
Questo è dovuto al fatto che quando "integri" dovresti sempre considerare l'integrale definito, poiché l'integrale indefinito non è un numero [come l'integrale definito] o una funzione [come la funzione integrale] ma un insieme di funzioni.
2) Quello che dici ha senso solo se esiste una relazione tra \(y\) e \(x\), ad esempio che \(y = y(x)\). In questo caso integri rispetto alla variabile \(x\) in entrambi i lati, e quindi avrai
\[
\int 2 \cos x \ dx = \int \log(y(x)) \ dx
\]
3) NON si "semplificano \(dt\) e \(dt\)", perché \(\frac{dq}{dt}\) NON è una frazione. \(\frac{dq}{dt}\) è un simbolo il cui significato è equivalente a \(q'(t)\). Quindi avrai
\[
q(t) = \int q'(t) \ dt
\]
e devi procedere con le formule di integrazione delle funzioni composte.
L'ultima equazione che ho scritto, però, è scritta veramente male, tanto da essere scorretta. Il modo corretto di scriverla è il seguente:
\[
q(t) = \int q'(s) \ ds
\]
dove \(s\) è una variabile ausiliaria che serve per non creare ambiguità con \(t\).
In realtà anche così non va completamente bene: la scrittura più corretta di tutte è quella come integrale definito:
\[
q(t) = q(t_0) + \int_{t_0}^t q'(s) \ ds = q(t_0) + \int_{t_0}^t i(s) \ ds
\]
Questo è dovuto al fatto che quando "integri" dovresti sempre considerare l'integrale definito, poiché l'integrale indefinito non è un numero [come l'integrale definito] o una funzione [come la funzione integrale] ma un insieme di funzioni.
Va bene, grazie. Giustamente, non avendo riletto mi sono solo avveduto dopo dell'errore f (x) = cos (x)dx e di altre imprecisioni. Però ero sicuro di aver letto a proposito del metodo di risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili. In un video di lessthan3math viene spiegato che il simbolo df (x)/dx può essere "spezzato" e in tal modo è possibile risolvere separatamente i due integrali a destra e sinistra trovando così l'espressione della funzione che si cerca da cui deriva la domanda 1 da me rivoltavi. Poi nelle dispense di un professore che non cito per privacy ho sicuramente letto di una semplificazione fatta tra dt e dt nel caso dell'integrale della corrente.
Sono certo che tu lo abbia letto e che molte persone propongano il metodo di separazione di variabile "spezzando" le derivate in differenziali.
L'idea è che se
\[
y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}
\]
allora, "spezzando",
\[
g(y) \ dy = f(x)\ dx
\]
e quindi "integrando"
\[
\int g(y) \ dy = \int f(x)\ dx
\]
e infine, se \(G(y)\) è una primitiva di \(g(y)\) e \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\),
\[
G(y) = F(x)
\]
più costanti di sorta.
Tuttavia, "NON spezzando",
\[
g(y(x)) \cdot y'(x) = f(x)
\]
e allora, integrando due funzioni di \(x\) rispetto a \(x\)
\[
\int g(y(x)) \cdot y'(x) \ dx = \int f(x) \ dx.
\]
Infine, se \(\frac{d}{dy} G(y) = g(y)\) allora \(\frac{d}{dx} G(y(x)) = g(y(x)) \cdot y'(x)\) per la regola di derivazione di una composizione di funzioni, e quindi
\[
G(y) = F(x)
\]
più costanti di sorta.
Il trucco della separazione dei differenziali funziona perché c'è una relazione tra \(y\) e \(x\) data da \(y = y(x)\). Senza questa, non funziona niente. Incidentalmente, nella separazione di variabili delle PDE si arriva da tutt'altra parte proprio sfruttando il fatto che le due variabili considerate NON sono in alcuna relazione.
L'idea è che se
\[
y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}
\]
allora, "spezzando",
\[
g(y) \ dy = f(x)\ dx
\]
e quindi "integrando"
\[
\int g(y) \ dy = \int f(x)\ dx
\]
e infine, se \(G(y)\) è una primitiva di \(g(y)\) e \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\),
\[
G(y) = F(x)
\]
più costanti di sorta.
Tuttavia, "NON spezzando",
\[
g(y(x)) \cdot y'(x) = f(x)
\]
e allora, integrando due funzioni di \(x\) rispetto a \(x\)
\[
\int g(y(x)) \cdot y'(x) \ dx = \int f(x) \ dx.
\]
Infine, se \(\frac{d}{dy} G(y) = g(y)\) allora \(\frac{d}{dx} G(y(x)) = g(y(x)) \cdot y'(x)\) per la regola di derivazione di una composizione di funzioni, e quindi
\[
G(y) = F(x)
\]
più costanti di sorta.
Il trucco della separazione dei differenziali funziona perché c'è una relazione tra \(y\) e \(x\) data da \(y = y(x)\). Senza questa, non funziona niente. Incidentalmente, nella separazione di variabili delle PDE si arriva da tutt'altra parte proprio sfruttando il fatto che le due variabili considerate NON sono in alcuna relazione.
Grazie mille delle risposte e del tempo dedicatomi. Per quanto concerne la semplificazione del dt nella relazione carica-corrente invece?
Naturalmente non posso esimermi dal citare gli appunti sul metodo urang-utang© già sommariamente descritto da raptorista:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf
Ci sono anche dei miei appunti (del secolo scorso ) in rete che si intitolano: "Chi è dx?". Li cito perché, anche se non rispondono alle domande dirette di AlanTuringIsAlive, magari potrebbe valer la pena darci un'occhiata. Forse
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... gativo.pdf
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf
Ci sono anche dei miei appunti (del secolo scorso
) in rete che si intitolano: "Chi è dx?". Li cito perché, anche se non rispondono alle domande dirette di AlanTuringIsAlive, magari potrebbe valer la pena darci un'occhiata. Forsehttp://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... gativo.pdf
@fioravante ti confesso che mentre scrivevo temevo nel profondo di non ottenere la tua approvazione su questo argomento, che so starti molto a cuore 
"Raptorista":
@fioravante ti confesso che mentre scrivevo temevo nel profondo di non ottenere la tua approvazione su questo argomento, che so starti molto a cuore
La prima reazione è stata quella di risponderti così:
Ma la tua affermazione per cui "mi sta molto a cuore" mi ha fatto riflettere. In un certo senso è vero. E lo è perché quegli appunti (inclusi anche quelli su "dx") sono stati il frutto di una emancipazione faticosa. Pur essendomi laureato in matematica, non posso dire che mi fossero state un granché spiegati certe cose. Aggiunto all'uso disinvolto che ne fanno alcuni (fisici in primis, ma non solo), ci misi un po' a diradare le nebbie
Noto con piacere che nessuna delle due risposte candidate mira a riprendermi per mancanza di rigore matematico
"Raptorista":
Noto con piacere che nessuna delle due risposte candidate mira a riprendermi per mancanza di rigore matematico
A 'sto punto mi è venuto il dubbio che tu avessi la coda di paglia
Così ho letto con attenzione. Se c'è una obiezione da fare, è che hai fatto il furbo. Mettendo la $g$ a denominatore, hai potuto glissare su cosa succede quando la "funzione della $y$" si annulla. Che un po' di attenzione la merita, ovviamente mi riferisco a quando hai la edvs nella forma $y' = a(x) \cdot b(y)$
Così ti voglio, cattivissimo!!
Non diciamo che ho glissato, diciamo che ho lasciato alcuni dettagli al lettore
Non diciamo che ho glissato, diciamo che ho lasciato alcuni dettagli al lettore
La confusione la si fa sempre con la sostituzione, sappi che vale:
$ lim_(n -> oo) sum f(x)deltax=lim_(n -> oo) sum f(x)(partial x)/( partial t)deltat $
Dove n è il numero di partizioni...
Conseguenza di:
$lim_(deltat -> 0)( (partial x)/(partial t)deltat-deltax)/(deltat)= 0 $
Dove per ∆t tendente a zero anche ∆x tende a zero, ed anche l'errore tende a zero (o meglio il rapporto tra errore e ∆t) nel considerare ∆t al posto di ∆x
Scritta un po' ad...
Quindi:
$ int_()^() f dx =int_()^()f ((partial x)/(partial t)) dt $
Non so mettere i pedic
$ lim_(n -> oo) sum f(x)deltax=lim_(n -> oo) sum f(x)(partial x)/( partial t)deltat $
Dove n è il numero di partizioni...
Conseguenza di:
$lim_(deltat -> 0)( (partial x)/(partial t)deltat-deltax)/(deltat)= 0 $
Dove per ∆t tendente a zero anche ∆x tende a zero, ed anche l'errore tende a zero (o meglio il rapporto tra errore e ∆t) nel considerare ∆t al posto di ∆x
Scritta un po' ad...
Quindi:
$ int_()^() f dx =int_()^()f ((partial x)/(partial t)) dt $
Non so mettere i pedic
"antonio9992":
La confusione la si fa sempre con la sostituzione, sappi che vale:
$ lim_(deltax -> 0) sum f(x)deltax=lim_(deltax -> 0) sum f(x)(partial x)/( partial t)deltat $
Conseguenza di:
$lim (partial x)/(partial t)deltat= lim_(deltat -> 0) (deltax) $
Scritta un po' ad...
Quindi:
$ int_()^() f(x) dx =int_()^()f ((partial x)/(partial t)) dt $
Non so mettere i pedic
Premessa per gli amministratori e moderatori del forum: tranquilli, dopo questo intervento torno al mio letargo.
Nel merito: che stupido che sono stato. Una vita sprecata a fare il matematico, pensando che fosse una cosa seria, senza capire che si tratta solo di buttare lì a caso un po' di simboli vagamente esoterici
Ci farà piacere se esci dal letargo e ogni tanto dai una bella strigliata ( non solo ai cavalli )
Scusate ho dovuto staccare, ho scritto male, non c'è bisogno di offendere, non l'ho riletto e non credevo si averlo speditoo, avrei modificato il messaggio
Vedete se ora vi piace
Vedete se ora vi piace
Quello comunque è il senso, forse si usa il teorema di Lagrange che da un ∆x indipendente da un rapporto incrementale, uno stratagemma matematico o una considerazione
Forse si ripartisce in funzione di t e non di x e si nota che il rapporto tra i membri della prima equazione al limite di n che porta una partizione sul nuovo asse t di riferimento e ∆t tende a zero
Forse si ripartisce in funzione di t e non di x e si nota che il rapporto tra i membri della prima equazione al limite di n che porta una partizione sul nuovo asse t di riferimento e ∆t tende a zero
La relazione tra t ed x deve essere iniettiva, se per diversi valori di t hai lo stesso valore di x non puoi integrare, per esempio se x=sent ci sono infiniti valori di t per cui x vale per esempio 0.5 che potrebbe essere un tuo estremo di integrazione
Parlare di dx e dt al limite dovrebbe essere lo stesso
Sto dicendo cose per un idea, devono confermare gli altri, anche a me interessa l'argomento
La funzione x(t) credo debba essere regolare, e ciò (derivata non nulla) significhi monotonia
E vi chiedo: la sostituzione si può applicare solo per curve regolari?
Studio mentre attendo risposte
Parlare di dx e dt al limite dovrebbe essere lo stesso
Sto dicendo cose per un idea, devono confermare gli altri, anche a me interessa l'argomento
La funzione x(t) credo debba essere regolare, e ciò (derivata non nulla) significhi monotonia
E vi chiedo: la sostituzione si può applicare solo per curve regolari?
Studio mentre attendo risposte
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo