Permanenza del segno per successione di funzioni
Ciao, ho appena trovato un errore nella tesi, che devo consegnare a breve, quindi sono abbastanza angosciato... Vorrei chiedervi una mano.
Ho una successione di funzioni continue $f_n:[0,1]->R$. So che esiste $\lim_{n->+\infty}f_n(t)=f(t)<0\ \ \forall t\in[0,1]$ e, se può servire, so anche che $f$ è continua.
Per il teorema di permanenza del segno al limite, posso affermare che:
$\forall t\in[0,1]\ \ \exists\bar{n}_t\in N:\ \ f_n(t)<0\ \ \forall n>\bar{n}_t$ .
Ora io avrei bisogno di eliminare la dipendenza di $\bar{n}$ da $t$.
Secondo voi è possibile?
Ho una successione di funzioni continue $f_n:[0,1]->R$. So che esiste $\lim_{n->+\infty}f_n(t)=f(t)<0\ \ \forall t\in[0,1]$ e, se può servire, so anche che $f$ è continua.
Per il teorema di permanenza del segno al limite, posso affermare che:
$\forall t\in[0,1]\ \ \exists\bar{n}_t\in N:\ \ f_n(t)<0\ \ \forall n>\bar{n}_t$ .
Ora io avrei bisogno di eliminare la dipendenza di $\bar{n}$ da $t$.
Secondo voi è possibile?
Risposte
Io ho pensato che se fosse possibile trovare una scelta continua di $t->\bar{n}_t$, allora per il teorema di Weirstrass potrei definire $\bar{n}:=\max_{t\in[0,1]}\bar{n}_t$.
Però non so se la premessa sia vera..
Però non so se la premessa sia vera..
La convergenza è uniforme?
Oppure, la successione [tex]$f_n$[/tex] è decrescente?
Oppure, la successione [tex]$f_n$[/tex] è decrescente?
Purtroppo le $f_n$ che ho sono molto complicate, quindi non riesco a determinare nessuna delle due cose.
Se può servire, riesco a dire che $f_n=g'_n$ con la successione $g_n$ decrescente.
Se può servire, riesco a dire che $f_n=g'_n$ con la successione $g_n$ decrescente.
Se ammetti l'uniforme convergenza si, altrimenti no, perchè posso fornirti un esempio in cui una funzione continua che è limite di una successione di funzioni continue in un compatto, non è però uniformemente convergente.
Cioè non puoi eliminare la dipendenza di $N$ da $t$.
Dovresti avere per esempio che la successione sia monotona descrescente, allora puoi supporlo.
Oppure supporre la equicontinuità e la puntuale limitatezza, per avere almeno una sottosuccessione equilimitata che sia uniformemente convergente, per cui quindi l'affermazione è vera.
E ho trovato anche l'esempio che fa al caso tuo:
$f_n(t) = t^2/(t^2 + (1-n*t)^2) -1$ con $t$ in $[0,1]$
Osserva ora che $f_n(1/n)= 0$ $(n=1,2,3,.....)$
[edit] ok Gugo ti aveva già risposto e non lo avevo letto perchè stavo scrivendo. ciao
[edit] $f_n(t) = t^2/(t^2 + (1-n*t)^2) -0.5$ con $t$ in $[0,1]$ E qui addirittura positivo: $f_n(1/n)= 0.5$ $(n=1,2,3,.....)$
[edit] c'era un elevamento a potenza che avevo trascritto errato. ora è corretto.
Cioè non puoi eliminare la dipendenza di $N$ da $t$.
Dovresti avere per esempio che la successione sia monotona descrescente, allora puoi supporlo.
Oppure supporre la equicontinuità e la puntuale limitatezza, per avere almeno una sottosuccessione equilimitata che sia uniformemente convergente, per cui quindi l'affermazione è vera.
E ho trovato anche l'esempio che fa al caso tuo:
$f_n(t) = t^2/(t^2 + (1-n*t)^2) -1$ con $t$ in $[0,1]$
Osserva ora che $f_n(1/n)= 0$ $(n=1,2,3,.....)$
[edit] ok Gugo ti aveva già risposto e non lo avevo letto perchè stavo scrivendo. ciao
[edit] $f_n(t) = t^2/(t^2 + (1-n*t)^2) -0.5$ con $t$ in $[0,1]$ E qui addirittura positivo: $f_n(1/n)= 0.5$ $(n=1,2,3,.....)$
[edit] c'era un elevamento a potenza che avevo trascritto errato. ora è corretto.
Non ho capito il controesempio: le $f_n$ che hai scritto non sono continue su $[0,1]$ perchè il denominatore si annulla in $t=1/\sqrt{n-1}$.
"qwertyuio":
Non ho capito il controesempio: le $f_n$ che hai scritto non sono continue su $[0,1]$ perchè il denominatore si annulla in $t=1/\sqrt{n-1}$.
Avevo male trascritto, c'era un elevamento a potenza che in effetti non esisteva. Controlla ora.
[edit] di nuovo corretto, oggi proprio non ne azzecco una. comunque ora dovrebbe andar bene.
Mi sembra che il denominatore continui ad annullarsi: ho un'equazione di secondo grado con delta>0 (per n>2). Anche graficando col computer si vede la discontinuità in [0,1]
Ah scusa, ora guardo
"qwertyuio":
Mi sembra che il denominatore continui ad annullarsi: ho un'equazione di secondo grado con delta>0 (per n>2). Anche graficando col computer si vede la discontinuità in [0,1]
A te non ti si frega facilmente è?
Ora è corretto, come esempio lo puoi tranquillamente usare nella tesina, citando anche il testo da cui l'ho tratto Walter Rudin [Principles of Mathematical Analysis]
Già, funziona. Grazie.
A questo punto devo per forza lavorare sulle $f_n$. Conosci qualche tecnica per dimostrare la convergenza uniforme o l'equicontinuità?
A questo punto devo per forza lavorare sulle $f_n$. Conosci qualche tecnica per dimostrare la convergenza uniforme o l'equicontinuità?
"qwertyuio":
Già, funziona. Grazie.
A questo punto devo per forza lavorare sulle $f_n$. Conosci qualche tecnica per dimostrare la convergenza uniforme o l'equicontinuità?
Un po' di ipotesi te l'ho fornite, nella mia prima risposta, purtroppo, ne' l'equicontinuità ne' l'equilimitatezza, ne' entrambi, e nemmeno se aggiungi un insieme compatto quale insieme di definizione possono servire come condizioni sufficienti per l'uniforme convergenza, esistono esempi in tal senso, non sto a trascriverteli tutti.
Una condizione sufficiente è la monotona decrescenza della successione.
Possiamo salire nello spazio metrico delle funzioni continue limitate in un insieme generico, o in particolare definite su un insieme compatto, utilizzando una particolare metrica come distanza tra le funzioni ossia:
$d(f,g) =$sup$||f(x)-g(x)||$
allora hai che la condizione di cauchy se soddisfatta ti porta l'uniforme convergenza(questo anche prima), che poi coincide con quella che conosci maggiorando le singole funzioni con una costante la quale tende a $0$ per $n->oo$
In sostanza capito che è uno spazio metrico, tutto ciò che hai studiato sulle successioni, serie e compagnia bella può aiutarti a capire se un punto di questo spazio metrico che è poi una funzione continua limitata etc etc è il limite della successione, e quindi che la successione è uniformemente convergente.
Un successione di questi punti può avere un punto di accumulazione che non è il limite, quindi esiste una sottosuccessione uniformemente convergente,
da qui l'interesse a trovare delle condizioni tipo l'equicontinuità e la puntuale limitatezza per garantirti una suttosuccessione di punti che converge.
Per l'equicontinuità basta l'uniforme convergenza e la compattezza dell'insieme di definizione delle funzioni della successione.
Ti ringrazio, vedrò se si riesce a fare qualcosa, anche se le mie $f_n$ sono piuttosto complicate (contengono dei valori di aspettazione in spazi di probabilità dipendenti da t..).
Comunque mi stupisce quanto sia importante sapere che una successione di funzioni converge uniformente affinché le cose vadano come ci immaginiamo e quanto invece sia difficile dimostrarlo.
Comunque mi stupisce quanto sia importante sapere che una successione di funzioni converge uniformente affinché le cose vadano come ci immaginiamo e quanto invece sia difficile dimostrarlo.
"qwertyuio":
Ti ringrazio, vedrò se si riesce a fare qualcosa, anche se le mie $f_n$ sono piuttosto complicate (contengono dei valori di aspettazione in spazi di probabilità dipendenti da t..).
Comunque mi stupisce quanto sia importante sapere che una successione di funzioni converge uniformente affinché le cose vadano come ci immaginiamo e quanto invece sia difficile dimostrarlo.
Questo perchè l'uniforme convergenza ti assicura di poter invertire l'ordine nei passaggi al limite, o tra limite e derivazione, o tra limite e integrazione. Se hai che la successione è uniformente convergente fai prima l'integrazione e poi il limite, o la derivazione e poi il limite, oppure il limite nel punto e poi quello per n tendente a infinito, il contrario in tutti questi casi è un problema. Per quanto riguarda la difficoltà di dimostrarlo, beh dipende dal caso concreto non mi fascerei la testa prima di averla battuta insomma.
Per esempio non hai avuto difficoltà a capire l'esempio di prima ciao.
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