Periodicità di una funzione espressa come somma di funzioni periodiche con argomento irrazionale

[EdgarVillier]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in un equazione differenziale in cui la soluzione è la somma di funzioni periodiche, 2 sono periodiche di periodo \(\displaystyle \sqrt(2)\pi \) mentre le altre di periodo \(\displaystyle \pi \). Ovvero nella forma :
\(\displaystyle c1*\sin(\sqrt(2)\pi) + c2*\cos(\sqrt(2)\pi) + A\sin(2x) + B\cos(2x) \)
**dove c1, c2, A, B sono numeri reali
Le prime 2 a partire da sinistra :
\(\displaystyle c1*\sin(\sqrt(2)\pi) + c2*\cos(\sqrt(2)\pi) + A\sin(2x) + B\cos(2x) \)
sono periodiche di periodo \(\displaystyle \sqrt(2)\pi \)

Mentre le ultime :
\(\displaystyle A\sin(2x) + B\cos(2x) \)
sono periodiche di periodo \(\displaystyle \pi \)

Essendo somma di funzioni periodiche, pensavo che fosse necessario calcolare il m.c.m. fra i 2 periodi calcolati.......
Ma nella soluzione dell'esercizio in oggetto i 2 risultano incommensurabili per cui non hanno un m.c.m.

Dalla teoria, i numeri incommensurabili riguarda i numeri razionali ma l'argomento delle funzioni seno e coseno è un numero reale...... In questo caso il m.c.m è fra numeri reali, dove sbaglio ?

[Fioravante Patrone1]

"EdgarVillier":
...
In questo caso il m.c.m è fra numeri reali, dove sbaglio ?

Il m.c.m. è una "robba" che interessa negli anelli. Non in un corpo come sono i reali (ed i razionali...). Vedi ad esempio qui (anche se immagino che in rete ci siano dei riferimenti più sintetici):
https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiple

Quanto alla tua questione di partenza, puoi provare a dare un'occhiata qui (lasciando perdere il commento offensivo nei confronti degli ingegneri):
https://math.stackexchange.com/question ... s-periodic

[EdgarVillier]

Ti ringrazio davvero per gli spunti e i link

[Fioravante Patrone1]

"EdgarVillier":Ti ringrazio davvero per gli spunti e i link

Prego
Spero ti possano servire. E buon proseguimento

[fmnq]

"Fioravante Patrone":[quote="EdgarVillier"]In questo caso il m.c.m è fra numeri reali, dove sbaglio ?

Il m.c.m. è una "robba" che interessa negli anelli. Non in un corpo come sono i reali (ed i razionali...).[/quote]
Questo commento è fuorviante: sai cos'è un anello euclideo? Quello che intendo più precisamente è che:

1. Sembra far intuire che i campi non sono anelli.
2. La nozione di gcd e lcm è definibile in ogni anello euclideo; però i campi sono anelli euclidei, benché in maniera banale (la loro valutazione si può porre uguale ad 1).

Potresti allora aver voluto dire che nel caso dei campi la nozione di valutazione è sempre banale; questo è falso.