Periodicità di f

[Kashaman]

Ho i seguenti quesiti, spero che mi aiutate a verificarne la correttezza. Mi scuso se ne sono troppi, ma sono relativamente semplici, è per verificare se ho capito appieno.

1) Sia $f : RR->RR$ . $T-$ periodica . Allora $AA n \in NN\\{0}$ f è $nT$ periodica.

Dim : Per induzione.
Se $n=1$ la tesi è banalmente vera. Infatti $f(x+1*T)=f(x+T)=f(x)$
Supponiamo vero il fatto che $f(x+nT)=f(x)$.
E deduciamo che $f(x+(n+1)T)=f(x)$
Abbiamo che $f(x+(n+1)T)=f(x+nT+T)=${per la periodicità di $f$}$=f(x+nT)=${per ipotesi induttiva}$=f(x)$ L'asserto.

2) Sia $f : RR->RR$, una funzione costante di costante valore$c$. Mostrare che è $\alpha$-periodica $AA \alpha >0$. In particolare $f$ non ammette minimo periodo.

Sia $\alpha>0$.
Banalmente , per definizione di $f$. $f(x+\alpha)=c=f(x)$.
Supponiamo per assurdo che $EE\alpha_0>0$ tale che $\alpha_0=min{\alpha>0|f(x+\alpha)=f(x)}$ (1)
Consideriamo l'intervallo $]0, \alpha_0[$. Allora, certamente $EE \mu in ]0,\alpha_0[$ .
si ha che $f(x+\mu)=c=f(x)$ per definizione stessa di $f$. Ciò contraddice (1).

3) Provare che se $f:RR->RR$ è periodica,allora non è iniettiva.

Sia $T>0$ tale che $AAx f(x+T)=f(x)$. Supponiamo per assurdo che $f$ è iniettiva. Si avrebbe che $x+T=x => T=0$. Assurdo

4)
Sia $f$ una funzione $T-$ periodica. $\lambda>0$. La funzione $g : RR->RR$ definita ponendo $AA x in RR : g(x)=f(\lambdax)$ è periodica di periodo $T/\lambda$.
dim

Sia $x in RR$. $T,\lambda>0$.
$g(x+T/\lambda)= f(\lambda(x+T/\lambda)=f(\lambda x + T) =$ per la periodicità di $f$ $=f(\lambda x) := g(x)$ L'asserto

Grazie a tutti!!!

[ciampax]

Sì, sono corretti. Per il 3) avresti potuto anche prendere $x,\ x+T$ che sono diversi ma $f(x+T)=f(x)$ e quindi le immagini di due punti distinti coincidono ergo $f$ non iniettiva.

[Kashaman]

Thanks ciampax!

[Kashaman]

altro quesitino
5) Sia $f : A->RR$ funzione periodica di periodo $T$ e dispari. Allora $f^2 : A->RR , AAx in A : f^2(x)=f(x)^2$ è periodica di periodo $T/2$.

Poiché $f$ è $T$ periodica non è limitativo considerare $f$ nell'intervallo $[-T/2,T/2] = X$.
Dalla disparità di $f$ si deducono i seguenti fatti :
1) $f(0)=0$
2) $AA in X : f(-x)=-f(x)$
3) $f>0$ (oppure $f<0$) in $]0,T/2]$ e $f<0$ in $[-T/2,0[$ .
Dalla $2$ si ricava che $AA x in X : f(-x)^2=f(x)^2$.
E cioè $AA -x in [-T/2,0[ $ e $ AA x in ]0,T/2] => f(-x)^2=f(x)^2$ E cioè ad intervalli regolari di lunghezza $T/2$ $f^2$ assume gli stessi valori. Pertanto la tesi è dimostrata

Ho fatto tanti brogli?
grazie

[ciampax]

Giusto.

[Kashaman]

grazie ciampax.
Ragazzi ho un problema...
non riesco a provare che $cos(x^2)$ non è periodica.
Infatti se suppongo per assurdo che $EE T>0$ tale che $cos(x^2)=cos((x+T)^2)$
Svolgendo un poco di calcoli..
arrivo ad una forma del genere
$cos(x^2)(cos(2xT+T)-1)-sin(x^2)sin(2xT+T)=0$ ma mi blocco.. il mio obbiettivo è quello di giungere ad un assurdo.
Cosa sbaglio? sto prendendo un brutto approccio al problema? grazie

------------------------------ Aggiungo un'altro problema, che forse ho la risoluzione.------
Il professore ha detto di confutare o provare questa tesi.

Se $f,g$ sono funzioni periodiche di periodo $T_1 , T_2$
Se $T_1/T_2 in RR\\Q => f+g$ non periodica? (necessariamente?)

A me sembra una cosa falsa, ho portanto un controesempio un poco banale però.
Poniamo
$f(x)=sin(sqrt2x)$ e $g(x)=1$
$T_1 = sqrt2\pi$ e $T_2=\alpha$ cioè qualsiasi numero reale positivo.
Ora , per qualsiasi sia $\alpha$ $T_1/T_2$ non è razionale
tuttavia $f+g := sin(sqrt2x)+1$ è di periodo $sqrt2\pi$.
Può essere un valido controesempio?
Grazie

[Plepp]

Il periodo di $f(x)$ è $2/\sqrt{2} pi$ però

[Kashaman]

giusè non mi cadere su queste cose !
$2/(sqrt2)\pi = (2*sqrt(2))/(sqrt2*sqrt2)\pi = 2sqrt2 \pi /2 = sqrt2\pi$

[Plepp]

Ahahahahahah maledizione che vergogna Senti, fammi finire geometria, ché se no continuo a sparare cazzate Non mi stuzzicare con l'Analisi!

[ciampax]

Riguardo alla non periodicità di $\cos x^2$: se esistesse $T>0$ periodo (supponiamo anche che sia il minimo) allora

$\cos (x+T)^2=\cos x^2$ e ovviamente sappiamo pure che $\cos(y+2\pi)=\cos y$.

Osservando le due identità, si può supporre che $y=x^2$, $y+2\pi=(x+T)^2$ e pertanto

$y+2\pi=x^2+2xT+T^2=y+2xT+T^2$

da cui $T^2+2xT-2\pi=0$. Ma come vedi, risolvendo l'equazione in $T$ non si ottiene una costante, e quato implica la non esistenza di un periodo.

[Kashaman]

ciampax, una piccola domanda (ti ringrazio)
Cosa mi permette di supporre che $y=x^2$ e che $y+2\pi = (x+T)^2$? cosa mi autorizza a farlo?
grazie