Perdere continuità indebolendo la topologia
Ho trovato questa affermazione (il titolo del post) e ci stavo riflettendo su...
Sia $X$ uno spazio topologico con topologia $\tau$
e sia $f:X->RR$ un funzionale continuo
definizione topologica di continuità: ($U$ e$V$ sono aperti) $\forall V\subRR\ \ \exists U\subX\ \ tc\ \ f^{-1}(V)=U$
Se la topologia $\tau$ dello spazio $X$ viene progressivamente indebolita, si perdono via via aperti, quindi magari si può andare a rompere una corrispondenza nella definizione di continuità, ovvero per un certo $V$ può venire a mancare il corrispondente $U$ in $\tau$.
Viceversa invece, fortificando la topologia non ho problemi, una f che era continua lo rimarrà (poiché sto modificando solo la topologia dello spazio di partenza).
E' giusto il ragionamento? Non è troppo vago? Si può rendere più preciso in qualche modo che non mi viene in mente?
E perché la dinamica inversa si verifica invece nel caso di $f$ coerciva?
Sia $X$ uno spazio topologico con topologia $\tau$
e sia $f:X->RR$ un funzionale continuo
definizione topologica di continuità: ($U$ e$V$ sono aperti) $\forall V\subRR\ \ \exists U\subX\ \ tc\ \ f^{-1}(V)=U$
Se la topologia $\tau$ dello spazio $X$ viene progressivamente indebolita, si perdono via via aperti, quindi magari si può andare a rompere una corrispondenza nella definizione di continuità, ovvero per un certo $V$ può venire a mancare il corrispondente $U$ in $\tau$.
Viceversa invece, fortificando la topologia non ho problemi, una f che era continua lo rimarrà (poiché sto modificando solo la topologia dello spazio di partenza).
E' giusto il ragionamento? Non è troppo vago? Si può rendere più preciso in qualche modo che non mi viene in mente?
E perché la dinamica inversa si verifica invece nel caso di $f$ coerciva?
Risposte
Si, è come dici tu. Se $X$ è uno spazio topologico, togliendogli degli aperti (="indebolendone la topologia", ma attenzione che è un gergo proprio dell'analisi) aumenti la probabilità che una applicazione a valori in $X$ sia continua, oppure che una successione in $X$ sia convergente, oppure che una parte di $X$ sia compatta. Chiaramente qualcosa devi perdere: e infatti diminuisci la probabilità che una applicazione definita in $X$ sia continua. Tutte cose che avevi già capito. Una osservazione:
E perché la dinamica inversa si verifica invece nel caso di f coerciva?Mica vero. Pure per le funzioni coercive definite in $X$ è più difficile essere continue, dopo l'indebolimento della topologia. Prendi un $X$ spazio di Hilbert separabile e la funzione coerciva $||*||$. Questa non è debolmente continua. E' solo semicontinua inferiormente. Infatti se ${e_1, e_2, ..., }$ è un sistema ortonormale completo, come saprai $e_n \to 0$ debolmente. Se $||*||$ fosse debolmente continua, avremmo che $||e_n|| \to 0$, ma questo è falso visto che $||e_n||=1$ per ogni $n$.
"dissonance":
togliendogli degli aperti (="indebolendone la topologia", ma attenzione che è un gergo proprio dell'analisi)
ho usato a sproposito qualcosa e non me ne sono reso conto?
"dissonance":
Si, è come dici tu. Se $X$ è uno spazio topologico, togliendogli degli aperti (="indebolendone la topologia", ma attenzione che è un gergo proprio dell'analisi) aumenti la probabilità che una applicazione a valori in $X$ sia continua, oppure che una successione in $X$ sia convergente, oppure che una parte di $X$ sia compatta.
Vediamo se mi ricordo:
Chiamiamo $I(x)$ l'insieme degli intorni aperti di $x$.
Una successione ${x_m}$ converge a $x$, se $\forall U\inI(x)\ \ \exists N\inNN\ \ tc\ \ \forall n>N\ \ x_n\inU$
Quindi come giustamente mi fai notare se diminuiscono gli $I(x)$, allora è più probabile in generale che sia convergente.
Per quanto riguarda la compattezza, da ogni ricoprimento aperto ${A_n}_{n=0}^{+\infty}$ devo poter estrarre un sottoricoprimento finito ${A_{\sigma(n)}}_{n=0}^{N}$ con $\sigma$ permutazione. In questo caso non vedo come mi aiuti...
Per la domanda sulla coercività, mi sono espresso male, ieri sera ero un pò assonnato, credo che dovrò aprire un altro [edit]topic[/edit] perchè sarebbe un pò OT.
Sulle successioni tutto ok. Sulla compattezza ci sei quasi ma non è proprio così. Intanto ci sono vari tipi di compattezza, che diventano equivalenti nel contesto degli spazi metrici ma non in generale. Quelli interessanti sono due:
1) la compattezza topologica: una parte $A$ di uno spazio topologico $X$ è compatta se e solo se per ogni ricoprimento aperto ${U_alpha}_{alpha \in J}$ di $A$ esiste una famiglia finita $alpha_1, ..., alpha_n \in J$ tale che ${U_{alpha_1}, ..., U_{alpha_n}}$ è un ricoprimento di $A$ (=da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito).
Nota bene: l'insieme degli indici $J$ può anche essere più che numerabile (nel tuo post invece parlavi di ricoprimenti ${A_n}_{n=1}^infty$, che sono numerabili). Per esempio è un ricoprimento aperto di $[0, 1]$ la famiglia più che numerabile ${(-1, lambda)}_{\lambda >0}$. Un possibile sottoricoprimento finito è ${(-1, 1+1/2)}$ (l'esempio è un po' cretino ma non mi viene in mente niente di più significativo).
2) la compattezza per successioni: una parte $A$ di uno spazio topologico $X$ è compatta se e solo se ogni successione ${a_n}_{n \in NN}$ di elementi di $A$ ha una estratta convergente.
Togliendo aperti alla topologia di $X$ si aumenta la probabilità che una sua parte $A$ sia compatta in tutte e due queste accezioni: infatti togliendo aperti ad $X$ diminuiscono i possibili ricoprimenti aperti di $A$, quindi è più probabile che ognuno dei ricoprimenti superstiti ammetta sottoricoprimento finito; inoltre togliendo aperti ad $X$ aumenta la probabilità che le successioni convergano, quindi è più probabile che ogni successione in $A$ abbia estratta convergente.
Infine, parlavo di gergo proprio dell'analisi perché leggo sul libro Topology di Munkres che nel gergo dei geometri indebolire una topologia significa aggiungere degli aperti. Bisogna capire dal contesto a quale tipo di indebolimento ci si riferisce.
1) la compattezza topologica: una parte $A$ di uno spazio topologico $X$ è compatta se e solo se per ogni ricoprimento aperto ${U_alpha}_{alpha \in J}$ di $A$ esiste una famiglia finita $alpha_1, ..., alpha_n \in J$ tale che ${U_{alpha_1}, ..., U_{alpha_n}}$ è un ricoprimento di $A$ (=da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito).
Nota bene: l'insieme degli indici $J$ può anche essere più che numerabile (nel tuo post invece parlavi di ricoprimenti ${A_n}_{n=1}^infty$, che sono numerabili). Per esempio è un ricoprimento aperto di $[0, 1]$ la famiglia più che numerabile ${(-1, lambda)}_{\lambda >0}$. Un possibile sottoricoprimento finito è ${(-1, 1+1/2)}$ (l'esempio è un po' cretino ma non mi viene in mente niente di più significativo).
2) la compattezza per successioni: una parte $A$ di uno spazio topologico $X$ è compatta se e solo se ogni successione ${a_n}_{n \in NN}$ di elementi di $A$ ha una estratta convergente.
Togliendo aperti alla topologia di $X$ si aumenta la probabilità che una sua parte $A$ sia compatta in tutte e due queste accezioni: infatti togliendo aperti ad $X$ diminuiscono i possibili ricoprimenti aperti di $A$, quindi è più probabile che ognuno dei ricoprimenti superstiti ammetta sottoricoprimento finito; inoltre togliendo aperti ad $X$ aumenta la probabilità che le successioni convergano, quindi è più probabile che ogni successione in $A$ abbia estratta convergente.
Infine, parlavo di gergo proprio dell'analisi perché leggo sul libro Topology di Munkres che nel gergo dei geometri indebolire una topologia significa aggiungere degli aperti. Bisogna capire dal contesto a quale tipo di indebolimento ci si riferisce.
Ok per la compattezza sequenziale ci sono (forse), se ho capito bene ad esempio, se ho una successione che sta nella palla $B(0,1)$ di uno spazio di Hilbert, non è detto che converga;
ma se la mia topologia non è quella metrica, bensì una topologia più debole che non "distingue" i punti dentro la palla, per me quella successione converge.
E' giusto? Cioè in questo modo vado a perdere l'assioma di Hausdorff? (precisamente sono andato a cercare su wikipedia e intendo il secondo assioma di separabilità T2; visto che io conosco solo quello...)
Qui come posso essere sicuro che quelli che rimangono è più facile ammettano sottoricoprimento finito? Provo a rispondermi da solo: non siamo sicuri, ma meno aperti ci sono nella topologia, meno probabile è che data un insieme $A\subX$ infiniti aperti si sovrappongano su di esso. Poichè gli aperti danno una descrizione dello spazio sempre più grossolana, a "granelloni", se quello che ho detto prima sull'assioma di hausdorff è vero... ma mi pare di si.
ma se la mia topologia non è quella metrica, bensì una topologia più debole che non "distingue" i punti dentro la palla, per me quella successione converge.
E' giusto? Cioè in questo modo vado a perdere l'assioma di Hausdorff? (precisamente sono andato a cercare su wikipedia e intendo il secondo assioma di separabilità T2; visto che io conosco solo quello...)
"dissonance":
Togliendo aperti alla topologia di $X$ si aumenta la probabilità che una sua parte $A$ sia compatta in tutte e due queste accezioni: infatti togliendo aperti ad $X$ diminuiscono i possibili ricoprimenti aperti di $A$, quindi è più probabile che ognuno dei ricoprimenti superstiti ammetta sottoricoprimento finito.
Qui come posso essere sicuro che quelli che rimangono è più facile ammettano sottoricoprimento finito? Provo a rispondermi da solo: non siamo sicuri, ma meno aperti ci sono nella topologia, meno probabile è che data un insieme $A\subX$ infiniti aperti si sovrappongano su di esso. Poichè gli aperti danno una descrizione dello spazio sempre più grossolana, a "granelloni", se quello che ho detto prima sull'assioma di hausdorff è vero... ma mi pare di si.
"Fox":
Ok per la compattezza sequenziale ci sono (forse), se ho capito bene ad esempio, se ho una successione che sta nella palla $B(0,1)$ di uno spazio di Hilbert, non è detto che converga; ma se la mia topologia non è quella metrica, bensì una topologia più debole che non "distingue" i punti dentro la palla, per me quella successione converge.
E' giusto? Cioè in questo modo vado a perdere l'assioma di Hausdorff?
Per essere giusto è giusto: se imponi alla topologia di non distinguere i punti dentro la palla, tutte le successioni di punti della palla convergono a tutti i punti della palla (tieni presente che l'assioma di Hausdorff equivale al fatto che una successione convergente abbia limite unico). Chiaramente, la topologia debole di uno spazio di Hilbert non è così banale: tanto per cominciare essa è di Hausdorff. Ma questo sicuramente lo sai.
Qui come posso essere sicuro che quelli che rimangono è più facile ammettano sottoricoprimento finito? Provo a rispondermi da solo: non siamo sicuri, ma meno aperti ci sono nella topologia, meno probabile è che data un insieme $A\subX$ infiniti aperti si sovrappongano su di esso.Esatto.
Ok.
beh... in realtà no, ma conto di saperlo presto...
mi ci devo mettere tra oggi e domani.
sperando che non mi si aprano troppe parentesi, e che sia un argomento non troppo vasto altrimenti perdo il filo del discorso e ci metto una vita!
Grazie
"dissonance":
Chiaramente, la topologia debole di uno spazio di Hilbert non è così banale: tanto per cominciare essa è di Hausdorff. Ma questo sicuramente lo sai.
beh... in realtà no, ma conto di saperlo presto...
mi ci devo mettere tra oggi e domani.sperando che non mi si aprano troppe parentesi, e che sia un argomento non troppo vasto altrimenti perdo il filo del discorso e ci metto una vita!
Grazie
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