Perchè questo limite $lim_(x->+oo) log(1+1/(x))*x$ fa 1?
Dato che $lim_(x->+oo) log(1+1/(x)) = 0$ e $lim_(x->+oo) x = +oo$
e considerato il fatto che nella gerarchia degli infiniti $x$ è superiore
perchè questo limite $lim_(x->+oo) log(1+1/(x))*x$ fa $1$ e non $+oo$?
e considerato il fatto che nella gerarchia degli infiniti $x$ è superiore
perchè questo limite $lim_(x->+oo) log(1+1/(x))*x$ fa $1$ e non $+oo$?
Risposte
ho letto male scusate.
Beh, perchè sei in una forma indeterminata [tex]$0\cdot \infty$[/tex]... Quindi come la applichi la "gerarchia degli infiniti"?
Il trucco è sciogliere la forma indeterminata: per esempio puoi notare che:
[tex]$x\ \log \left( 1+\frac{1}{x}\right) =\log \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x$[/tex]
e [tex]$\lim_{x\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=\ldots$[/tex].
Il trucco è sciogliere la forma indeterminata: per esempio puoi notare che:
[tex]$x\ \log \left( 1+\frac{1}{x}\right) =\log \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x$[/tex]
e [tex]$\lim_{x\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=\ldots$[/tex].
Io ho un' altra impressione......
[tex]\log(1+\frac{1}{x})*x=\frac{\log(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}.....[/tex]
I puntini non servirebbero.
[tex]\log(1+\frac{1}{x})*x=\frac{\log(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}.....[/tex]
I puntini non servirebbero.
"GiovanniP":
Dato che $lim_(x->+oo) log(1+1/(x)) = 0$ e $lim_(x->+oo) x = +oo$
e considerato il fatto che nella gerarchia degli infiniti $x$ è superiore
perchè questo limite $lim_(x->+oo) log(1+1/(x))*x$ fa $1$ e non $+oo$?
Beh, semplicemente perché $lim_(y->0) log(1+y)/y = 1$ e, se poni $y=1/x$...
Oppure equivalentemente perché per $x->+oo$, $log(1+1/x) ~= 1/x$
EDIT: @Dareios: abbiamo scritto nello stesso momento :p
@Darèios & The_Mad_Hatter: Certo, si può fare anche così. 
Innanzi tutto grazie a tutti per le risposte
@Darèios e The_Mad_Hatter Aggiungo che poteva essere risolto anche con de l'hopital.
Sto cercando di capire piuttosto come utilizzare le gerarchie di infiniti e infinitesimi.
Quello che dici è vero, però mi ricordo che durante un esercizio in aula c'era da risolvere questo limite:
$lim_(x->0+) 1/(sqrt(x)*log(x))$ e se non ricordo male il mio professore concluse che faceva $oo$ dicendo che
$sqrt(x)$ al denominatore bastava a neutralizzare l'infinito del logaritmo.
Non si tratta di una forma indeterminata $0*oo$ come prima?
@Darèios e The_Mad_Hatter Aggiungo che poteva essere risolto anche con de l'hopital.
Sto cercando di capire piuttosto come utilizzare le gerarchie di infiniti e infinitesimi.
"gugo82":
Beh, perchè sei in una forma indeterminata [tex]$0\cdot \infty$[/tex]... Quindi come la applichi la "gerarchia degli infiniti"?
Quello che dici è vero, però mi ricordo che durante un esercizio in aula c'era da risolvere questo limite:
$lim_(x->0+) 1/(sqrt(x)*log(x))$ e se non ricordo male il mio professore concluse che faceva $oo$ dicendo che
$sqrt(x)$ al denominatore bastava a neutralizzare l'infinito del logaritmo.
Non si tratta di una forma indeterminata $0*oo$ come prima?
A parte le soluzioni del problema che sono state espresse sopra, a me sembra che l'autore del thread si ponesse il dubbio circa la "stranezza" del fatto che, malgrado ogni potenza di $x$ ad esponente razionale positivo, in particolare $1$, sia un infinito di ordine superiore al logaritmo, in questo caso invece di essere $+oo$ il limite è $1$, ciò dipende anche dalla velocita con cui l'argomento della funzione, in questo caso il logaritmo, tende al suo limite, in ultima analisi dipende dalla funzione, che non è più semplicemente un logaritmo.
Quindi è errato porsi il quesito in relazione al logaritmo così come ad ogni altra funzione, i limiti vanno studiati caso per caso.
Quindi è errato porsi il quesito in relazione al logaritmo così come ad ogni altra funzione, i limiti vanno studiati caso per caso.
E sì... Sono stato un po' impreciso, ma è proprio che ragiono così.
In generale non l'applico mai la "gerarchia" alle forme [tex]$0\cdot \infty$[/tex], nemmeno nel caso del tuo esempio; cerco sempre di mettere il tutto nella forma [tex]$\tfrac{\infty}{\infty}$[/tex] o [tex]$\tfrac{0}{0}$[/tex] e poi fare tutte le considerazioni del caso.
Ad esempio, con questo limite [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{1}{\sqrt{x}\ \ln x}$[/tex] avrei fatto:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x}\ \ln x} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\ln x} =\lim_{y\to +\infty} \frac{\sqrt{y}}{-\ln y}=-\infty$[/tex]
perchè le potenze divergono più in fretta dei logaritmi.
Infine, noto che la "gerarchia" in generale ti consente di confrontare infiniti con infiniti ed infinitesimi con infinitesimi, quindi (a meno di non averci "fatto l'occhio") è meglio procedere come faccio io, piuttosto che avventurarsi in azzardati confronti tra infiniti ed infinitesimi.
In generale non l'applico mai la "gerarchia" alle forme [tex]$0\cdot \infty$[/tex], nemmeno nel caso del tuo esempio; cerco sempre di mettere il tutto nella forma [tex]$\tfrac{\infty}{\infty}$[/tex] o [tex]$\tfrac{0}{0}$[/tex] e poi fare tutte le considerazioni del caso.
Ad esempio, con questo limite [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{1}{\sqrt{x}\ \ln x}$[/tex] avrei fatto:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x}\ \ln x} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\ln x} =\lim_{y\to +\infty} \frac{\sqrt{y}}{-\ln y}=-\infty$[/tex]
perchè le potenze divergono più in fretta dei logaritmi.
Infine, noto che la "gerarchia" in generale ti consente di confrontare infiniti con infiniti ed infinitesimi con infinitesimi, quindi (a meno di non averci "fatto l'occhio") è meglio procedere come faccio io, piuttosto che avventurarsi in azzardati confronti tra infiniti ed infinitesimi.
La prossima volta quindi dovrò stare attento a cosa c'è dentro il logaritmo prima di trarre delle conclusioni...
Grazie, dubbi chiariti
Se invece fosse stata una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ o $0/0$ se non ho capito male qualunque cosa
ci fosse stata dentro il logaritmo la "gerarchia" avrebbe funzionato... correggetemi se ho detto una stupidagine
Grazie, dubbi chiariti
Se invece fosse stata una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ o $0/0$ se non ho capito male qualunque cosa
ci fosse stata dentro il logaritmo la "gerarchia" avrebbe funzionato... correggetemi se ho detto una stupidagine
"GiovanniP":
Se invece fosse stata una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ o $0/0$ se non ho capito male qualunque cosa
ci fosse stata dentro il logaritmo la "gerarchia" avrebbe funzionato...
Ma anche no. Ad esempio [tex]$\lim_{x\to +\infty} \tfrac{\ln ( e^x +2010)}{x}$[/tex] è in forma [tex]$\tfrac{\infty}{\infty}$[/tex], ma...
"gugo82":
Ad esempio [tex]$\lim_{x\to +\infty} \tfrac{\ln ( e^x +2010)}{x}$[/tex] è in forma [tex]$\tfrac{\infty}{\infty}$[/tex], ma...
...ma $e^x$ è superiore, e quindi non funziona più...
Superiore a cosa?...
"GiovanniP":
La prossima volta quindi dovrò stare attento a cosa c'è dentro il logaritmo prima di trarre delle conclusioni...
Grazie, dubbi chiariti
Se invece fosse stata una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ o $0/0$ se non ho capito male qualunque cosa
ci fosse stata dentro il logaritmo la "gerarchia" avrebbe funzionato... correggetemi se ho detto una stupidagine
Qualunque cosa ci sia al posto di $x$ come argomento del logaritmo, la funzione non è un logaritmo.
E se Gugo mi consente, intedeva fartelo osservare, infatti, se valesse la gerarchia, la funzione dovrebbe tendere a $0$ e invece no, tende a $1$.
Insomma l'argomento conta e non conta, dipende, se, però, ma, forse....evitiamo di fare ipotesi generali che, data la generalità dei casi, sarebbe un esercizio frustrante e poco costruttivo, almeno per quel che ne so.
@gugo82
Cioè non si può più fare un confronto perchè l'argomento del logaritmo tende a $+oo$ più rapidamente di $x$,
se l'argomento fosse stato $x$ allora concludevo che quel limite faceva $0$
P.S. Stavo scrivendo contemporaneamente a regim
Cioè non si può più fare un confronto perchè l'argomento del logaritmo tende a $+oo$ più rapidamente di $x$,
se l'argomento fosse stato $x$ allora concludevo che quel limite faceva $0$
P.S. Stavo scrivendo contemporaneamente a regim
@regim:
Qualunque cosa ci sia al posto di $x$ come argomento del logaritmo, la funzione non è un logaritmo.
E se Gugo mi consente, intedeva fartelo osservare, infatti, se valesse la gerarchia, la funzione dovrebbe tendere a $0$ e invece no, tende a $1$.[/quote]
Esatto, lo spirito era quello.
Insomma, è vero che il logaritmo abbatte l'ordine di infinito, però non lo ammazza del tutto (specialmente se l'argomento del logaritmo cresce in fretta!).
@GiovanniP: Diciamo che una buona regola potrebbe essere questa: siano [tex]$f(x),g(x)$[/tex] infiniti asintoticamente equivalenti in [tex]$x_0$[/tex]; allora [tex]$\lim_{x\to x_0} \tfrac{\ln g(x)}{f(x)} =0$[/tex].
Però non è esaminando tutte le possibilità e trovando una lista lunghissima di rimedi che si fanno gli esercizi di Analisi.
Chiaramente esistono regole più o meno generali, ma a che pro elencarle tutte? Per impararle a memoria? (Come fanno certi ingegneri, che si imparano a memoria la tabella delle trasformate e poi non sanno risolvere le equazioni di secondo grado...)
Senti a me: un esercizio si risolve si fa ragionando sulle cose che hai davanti, non ricordando tabelle.
"regim":
[quote="GiovanniP"][...]
Se invece fosse stata una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ o $0/0$ se non ho capito male qualunque cosa
ci fosse stata dentro il logaritmo la "gerarchia" avrebbe funzionato... correggetemi se ho detto una stupidagine
Qualunque cosa ci sia al posto di $x$ come argomento del logaritmo, la funzione non è un logaritmo.
E se Gugo mi consente, intedeva fartelo osservare, infatti, se valesse la gerarchia, la funzione dovrebbe tendere a $0$ e invece no, tende a $1$.[/quote]
Esatto, lo spirito era quello.
Insomma, è vero che il logaritmo abbatte l'ordine di infinito, però non lo ammazza del tutto (specialmente se l'argomento del logaritmo cresce in fretta!).
@GiovanniP: Diciamo che una buona regola potrebbe essere questa: siano [tex]$f(x),g(x)$[/tex] infiniti asintoticamente equivalenti in [tex]$x_0$[/tex]; allora [tex]$\lim_{x\to x_0} \tfrac{\ln g(x)}{f(x)} =0$[/tex].
Però non è esaminando tutte le possibilità e trovando una lista lunghissima di rimedi che si fanno gli esercizi di Analisi.
Chiaramente esistono regole più o meno generali, ma a che pro elencarle tutte? Per impararle a memoria? (Come fanno certi ingegneri, che si imparano a memoria la tabella delle trasformate e poi non sanno risolvere le equazioni di secondo grado...)
Senti a me: un esercizio si risolve si fa ragionando sulle cose che hai davanti, non ricordando tabelle.
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