Perchè questo limite fa 0?
[tex]\lim_{x \to -\infty }\frac{e^x-x}{e^x-1}-x[/tex]
Ho fatto il m.c.m
[tex]\frac{e^x-xe^x}{e^x-1}[/tex]
Ma continuando non mi risulta 0 il limte...cosa dovrei fare?
Mettendo in evidenza l'esponenziale non mi viene 0.
Ho fatto il m.c.m
[tex]\frac{e^x-xe^x}{e^x-1}[/tex]
Ma continuando non mi risulta 0 il limte...cosa dovrei fare?
Mettendo in evidenza l'esponenziale non mi viene 0.
Risposte
Perchè per $\lim_{x \to -\infty}$ hai che $e^x$ è o-piccolo sia di x che di 1, quindi:
$\lim_{x \to -\infty}\frac{e^x - x}{e^x -1}-x=\lim_{x \to -\infty}\frac{-x+o(x)}{-1+o(1)}-x=\lim_{x \to -\infty}x-x=\lim_{x \to -\infty}0=0$
$\lim_{x \to -\infty}\frac{e^x - x}{e^x -1}-x=\lim_{x \to -\infty}\frac{-x+o(x)}{-1+o(1)}-x=\lim_{x \to -\infty}x-x=\lim_{x \to -\infty}0=0$
Io non conosco la teoria degli o-piccolo... si può comunque svolgere in questa maniera?
Per $x->-oo$, $e^x -> 0$ pertanto $lim_(x->-oo) (e^x-x)/(e^x-1)-x = lim_(x->-oo) (-x)/(-1)-x = lim_(x->-oo) x-x = lim_(x->-oo) 0 = 0$
EDIT: Che poi, correggetemi se sbaglio, sarebbe come dire che $(e^x-x)/(e^x-1)$ è asintoticamente equivalente ad $x$ per $x->-oo$, infatti mettendo in evidenza la $x$ si avrebbe
$lim_(x->-oo) x(((e^x-x)/(e^x-1))/x - 1)$, che data l'equivalenza asintotica diverrebbe $lim_(x->-oo) x(1-1)$. Solo che in questo caso si avrebbe la forma intederminata $-oo*0$
Per $x->-oo$, $e^x -> 0$ pertanto $lim_(x->-oo) (e^x-x)/(e^x-1)-x = lim_(x->-oo) (-x)/(-1)-x = lim_(x->-oo) x-x = lim_(x->-oo) 0 = 0$
EDIT: Che poi, correggetemi se sbaglio, sarebbe come dire che $(e^x-x)/(e^x-1)$ è asintoticamente equivalente ad $x$ per $x->-oo$, infatti mettendo in evidenza la $x$ si avrebbe
$lim_(x->-oo) x(((e^x-x)/(e^x-1))/x - 1)$, che data l'equivalenza asintotica diverrebbe $lim_(x->-oo) x(1-1)$. Solo che in questo caso si avrebbe la forma intederminata $-oo*0$
"The_Mad_Hatter":
Io non conosco la teoria degli o-piccolo... si può comunque svolgere in questa maniera?
Per $x->-oo$, $e^x -> 0$ pertanto $lim_(x->-oo) (e^x-x)/(e^x-1)-x = lim_(x->-oo) (-x)/(-1)-x = lim_(x->-oo) x-x = lim_(x->-oo) 0 = 0$
EDIT: Che poi, correggetemi se sbaglio, sarebbe come dire che $(e^x-x)/(e^x-1)$ è asintoticamente equivalente ad $x$ per $x->-oo$, infatti mettendo in evidenza la $x$ si avrebbe
$lim_(x->-oo) x(((e^x-x)/(e^x-1))/x - 1)$, che data l'equivalenza asintotica diverrebbe $lim_(x->-oo) x(1-1)$. Solo che in questo caso si avrebbe la forma intederminata $-oo*0$
Questa versione mi piace di più, anche se non so se si possa fare solo una parte del limite prima....
"Darèios89":
Questa versione mi piace di più, anche se non so se si possa fare solo una parte del limite prima....
Beh e allora si può fare con le equivalenze asintotiche. Come dicevo, per $x->-oo$, $(e^x-x)/(e^x-1) ~= x$ e quindi $lim_(x->-oo) ((e^x-x)/(e^x-1)-x) = lim_(x->-oo) (x-x) = lim_(x->-oo) 0 = 0$.
Si può?
Ma si può...penso...solo che non sono il mio forte...
Oppure ancora
$(e^x-x)/(e^x-1)-x=(e^x-x-xe^x+x)/(e^x-1)=(e^x-xe^x)/(e^x-1)\sim -(e^x-xe^x)=xe^x(1-1/x)\simxe^x$
e se non ricordiamo la scala di infiniti applichiamo de l'Hôpital a $x/e^(-x)$
salvo sviste
$(e^x-x)/(e^x-1)-x=(e^x-x-xe^x+x)/(e^x-1)=(e^x-xe^x)/(e^x-1)\sim -(e^x-xe^x)=xe^x(1-1/x)\simxe^x$
e se non ricordiamo la scala di infiniti applichiamo de l'Hôpital a $x/e^(-x)$
salvo sviste
Non ho capito come ottiene la frazione su cui vorresti eventualmente applicare de l'Hopital.
Arrivati qua
$xe^x(1-1/x)$
la quantità tra parentesi tende a 1, quindi
$xe^x(1-1/x) \sim xe^x$ , che è di indeterminazione del tipo $oo*0$
per applicare de l'Hopital ci serve uno $oo/oo$, quindi portiamo a denominatore l'esponenziale, cambiando ovviamente segno all'esponente
$xe^x=x/e^(-x)$
ok?
$xe^x(1-1/x)$
la quantità tra parentesi tende a 1, quindi
$xe^x(1-1/x) \sim xe^x$ , che è di indeterminazione del tipo $oo*0$
per applicare de l'Hopital ci serve uno $oo/oo$, quindi portiamo a denominatore l'esponenziale, cambiando ovviamente segno all'esponente
$xe^x=x/e^(-x)$
ok?
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