Perchè questo integrale improprio non esiste?
Buonasera a tutti.
L'esercizio è:
$ int_(-oo )^(+oo ) (2x) / (x^2+1) dx $ e devo dire se l'int gen esiste o non esiste.
La soluzione dice che l'int. gen. non esiste. Perchè?
a me esce che f(x) è asintotica a 2/x, quindi l'int. gen. tra 0 e + $ oo $ diverge a +$ oo $ e quello fra - $ oo $ e 0, per lo stesso motivo, diverge a -$ oo $ .
Ma come posso dire che non esiste?
grazie
L'esercizio è:
$ int_(-oo )^(+oo ) (2x) / (x^2+1) dx $ e devo dire se l'int gen esiste o non esiste.
La soluzione dice che l'int. gen. non esiste. Perchè?
a me esce che f(x) è asintotica a 2/x, quindi l'int. gen. tra 0 e + $ oo $ diverge a +$ oo $ e quello fra - $ oo $ e 0, per lo stesso motivo, diverge a -$ oo $ .
Ma come posso dire che non esiste?
grazie
Risposte
Ciao 
Non so aiutarti ma l'argomento mi interessa...
Vediamo se ho capito: fare l'integrale tra $+oo$ e $-oo$, significa valutare quanto vale l'area sottesa alla funzione lungo tutto l'asse reale, contando positive le aree sopra l'asse x e negative le aree sotto, giusto?
Azzardo (ma è proprio un lancio senza paracadute!): la funzione non è dispari? Cioè simmetrica rispetto all'origine?
Ma allora se sommo le aree non mi viene 0?
Non so aiutarti ma l'argomento mi interessa...
Vediamo se ho capito: fare l'integrale tra $+oo$ e $-oo$, significa valutare quanto vale l'area sottesa alla funzione lungo tutto l'asse reale, contando positive le aree sopra l'asse x e negative le aree sotto, giusto?
Azzardo (ma è proprio un lancio senza paracadute!): la funzione non è dispari? Cioè simmetrica rispetto all'origine?
Ma allora se sommo le aree non mi viene 0?
Come azzardato da gio73, che nel frattempo voglio salutare, esiste solo "nel senso del valore principale" considerando questo particolare limite:
$int_(-oo)^(+oo)(2x)/(x^2+1)dx=lim_(M->+oo)int_(-M)^(+M)(2x)/(x^2+1)dx=0$
cioè, mantenendo gli estremi d'integrazione simmetrici rispetto all'origine. Ma per poter affermarne l'esistenza in generale, dovrebbe esistere quest'altro limite:
$int_(-oo)^(+oo)(2x)/(x^2+1)dx=lim_(M_1->-oo)lim_(M_2->+oo)int_(M_1)^(M_2)(2x)/(x^2+1)dx$
cioè, indipendentemente dalle leggi mediante le quali gli estremi d'integrazione tendono all'infinito.
$int_(-oo)^(+oo)(2x)/(x^2+1)dx=lim_(M->+oo)int_(-M)^(+M)(2x)/(x^2+1)dx=0$
cioè, mantenendo gli estremi d'integrazione simmetrici rispetto all'origine. Ma per poter affermarne l'esistenza in generale, dovrebbe esistere quest'altro limite:
$int_(-oo)^(+oo)(2x)/(x^2+1)dx=lim_(M_1->-oo)lim_(M_2->+oo)int_(M_1)^(M_2)(2x)/(x^2+1)dx$
cioè, indipendentemente dalle leggi mediante le quali gli estremi d'integrazione tendono all'infinito.
Si poteva anche dire che avendo $\int_-infty^0 2^x/(x^2+1) dx$ si osserva che il limite per $x->-infty$ vale $-infty$ e per
$\int_0^+infty 2^x/(x^2+1) dx$ si osserva che il limite per $x->+infty$ vale $+infty$, quindi i 2 integrali divergono
rispettivamente a $-infty$ e $+infty$ con lo stesso ordine quindi la somma di questi 2 infiniti vale $0$?
$\int_0^+infty 2^x/(x^2+1) dx$ si osserva che il limite per $x->+infty$ vale $+infty$, quindi i 2 integrali divergono
rispettivamente a $-infty$ e $+infty$ con lo stesso ordine quindi la somma di questi 2 infiniti vale $0$?
"Obidream":
...quindi i 2 integrali divergono rispettivamente a $-oo$ e $+oo$ con lo stesso ordine quindi la somma di questi $2$ infiniti vale $0$?
La tua affermazione non è stringente a sufficienza. I due integrali di cui parli, al variare di $M$, sono sempre uguali e opposti.
"speculor":
[quote="Obidream"]
...quindi i 2 integrali divergono rispettivamente a $-oo$ e $+oo$ con lo stesso ordine quindi la somma di questi $2$ infiniti vale $0$?
La tua affermazione non è stringente a sufficienza. I due integrali di cui parli, al variare di $M$, sono sempre uguali e opposti.[/quote]
Capisco, però non è immediato da verificare, ad occhio direi che questa funzione non ha simmetrie con gli assi. Esiste un modo per verificarlo velocemente o per fare questa osservazione?
"Obidream":
...però non è immediato da verificare, ad occhio direi che questa funzione non ha simmetrie con gli assi. Esiste un modo per verificarlo velocemente o per fare questa osservazione?
Perdonami ma, se ti stai riferendo alla funzione $[f(x)=(2x)/(x^2+1)]$, non mi sembra difficile verificare che si tratta di una funzione dispari.
Concordo, non so perché consideravo $2^x$ al numeratore
"Obidream":
[quote="speculor"][quote="Obidream"]
...quindi i 2 integrali divergono rispettivamente a $-oo$ e $+oo$ con lo stesso ordine quindi la somma di questi $2$ infiniti vale $0$?
La tua affermazione non è stringente a sufficienza. I due integrali di cui parli, al variare di $M$, sono sempre uguali e opposti.[/quote]
Capisco, però non è immediato da verificare, ad occhio direi che questa funzione non ha simmetrie con gli assi. Esiste un modo per verificarlo velocemente o per fare questa osservazione?
[/quote]Obi calcola $f(-x)$
come dice speculor, è facile!EDIT: scusa non avevo letto l'ultimo intervento
Se fosse $f(x)=2^x/(x^2+1)$ come cercavo di fare io però non è dispari Sono fuso da informatica e geometria, oggi è la seconda svista
Sono fuso da informatica e geometria, oggi è la seconda svista
"speculor":
Come azzardato da gio73, che nel frattempo voglio salutare, esiste solo "nel senso del valore principale" considerando questo particolare limite:
$int_(-oo)^(+oo)(2x)/(x^2+1)dx=lim_(M->+oo)int_(-M)^(+M)(2x)/(x^2+1)dx=0$
cioè, mantenendo gli estremi d'integrazione simmetrici rispetto all'origine. Ma per poter affermarne l'esistenza in generale, dovrebbe esistere quest'altro limite:
$int_(-oo)^(+oo)(2x)/(x^2+1)dx=lim_(M_1->-oo)lim_(M_2->+oo)int_(M_1)^(M_2)(2x)/(x^2+1)dx$
cioè, indipendentemente dalle leggi mediante le quali gli estremi d'integrazione tendono all'infinito.
Ti saluto volentieri anch'io speculor, era da qualche tempo che sentivo la tua mancanza!
Allora siamo d'accordo che questo integrale vale 0?
No, io non sono d'acordo.
Allora è necessario ricominciare il ragionamento 
:
non sono molto preparata quindi azzardo e posso dire anche parecchie stupidaggini (spero di non far perdere tempo a nessuno), allora...
Ho cercato di immaginare la funzione (il denominatore non si annulla mai e dunque il Dominio dovrebbe essere $RR$) e mi sembra che sia effettivamente dispari, passa per l'origine, nella parte positiva cresce fino ad avere un massimo in $x=1, y=1$ poi decresce lentissimamente avendo un asintoto orizzontale (asse x), nella parte negativa decresce fino ad un minimo in $x=-1, y=-1$ e poi cresce lentissimamente avendo un asintoto orizzontale (asse x).
Fino qui bene?
:non sono molto preparata quindi azzardo e posso dire anche parecchie stupidaggini (spero di non far perdere tempo a nessuno), allora...
Ho cercato di immaginare la funzione (il denominatore non si annulla mai e dunque il Dominio dovrebbe essere $RR$) e mi sembra che sia effettivamente dispari, passa per l'origine, nella parte positiva cresce fino ad avere un massimo in $x=1, y=1$ poi decresce lentissimamente avendo un asintoto orizzontale (asse x), nella parte negativa decresce fino ad un minimo in $x=-1, y=-1$ e poi cresce lentissimamente avendo un asintoto orizzontale (asse x).
Fino qui bene?
"gio73":
Ti saluto volentieri anch'io speculor, era da qualche tempo che sentivo la tua mancanza!
Allora siamo d'accordo che questo integrale vale 0?
Grazie, come al solito troppo buona.
"speculor":
...esiste solo "nel senso del valore principale" considerando questo particolare limite:
$int_(-oo)^(+oo)(2x)/(x^2+1)dx=lim_(M->+oo)int_(-M)^(+M)(2x)/(x^2+1)dx=0$
cioè, mantenendo gli estremi d'integrazione simmetrici rispetto all'origine.
Vale zero solo in questo senso.
Vediamo se ho capito: se faccio l'integrale fra due estremi l'uno opposto dell'altro ottengo 0, gli estremi in valore assoluto possono essere mooooooooooolto grandi e l'integrale vale sempre 0.
Grazie per l'attenzione gugo, purtroppo la mia preparazione è piuttosto carente e capisco solo in parte...
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