Perché questa serie converge solo puntualmente?

[lotuno]

Buonasera a tutti, oggi sto trovando difficoltà ad assimilare il concetto di convergenza assoluta e puntiforme delle successioni e serie di funzioni... Nello specifico vi sottopongo questo quiz, la cui risposta esatta è la C. Io avrei messo la B, perché converge puntualmente a $cos(x)$ e lo si vede subito applicando un limite con $n$ tendente a 0... visto che numeratore e denominatore esponenziali si annullano a vicenda, non dovrebbe rimanere esclusivamente il coseno? Che problema c'è sulla sua convergenza uniforme? Scusate ma non ho proprio compreso il concetto, ci sto sbattendo la testa da un po' ma proprio non va... consigli?

[Rigel1]

Se calcoli \(f_n(1/n)\) vedi subito che la convergenza non può essere uniforme.

[lotuno]

Hai ragione, effettivamente non converge! Ma come hai fatto ad arrivare a $f_n(1/n)$? Cioè, nella pratica mi consigli sempre di calcolare quel valore, visto che è un caso particolare e fondamentale?

[Rigel1]

Beh, nella funzione la dipendenza da \(n\) compare sempre attraverso il prodotto \(nx\); per \(x = 1/n\) esso vale sempre \(1\), indipendentemente da \(n\).

[lotuno]

Ti ringrazio per la risposta, a questo punto ti chiedo un parere su ciò che avevo provato per verificare la non convergenza uniforme: ho provato a sfruttare Weirstrass e a fare la derivata prima per cercare un punto di massimo, però ho trovato che l'unico valore possibile per cui la funzione si annulla è $pi/2$ (che annulla il coseno al numeratore) che tuttavia non credo sia un massimo nella funzione cosinusoidale... Quindi ne ho dedotto in modo molto rustico che non ci sono massimi, e quindi non è garantita convergenza uniforme su $R$. Che dici, può andare?