Perché questa f.d è esatta?
Data la forma differenziale $e^ydx+(1+e^y)dy$, calcolare il suo integrale sulla curva di equazione $y=x^2+e^xcosx$ fra i punti di ascissa $x=0$ e $x=1$.
Sono profondamente demotivato e vi spiego il perché. La forma differenziale è definita su tutto il piano, che è un insieme semplicemente connesso. Inoltre si verifica subito che la forma differenziale NON E' CHIUSA sul suo dominio. Quindi il teorema "se la f.d è chiusa su un semplicemente connesso allora è esatta su quell'insieme" non mi permette di concludere che è esatta sul suo dominio, giusto?
C'è però un altro teorema che recita così: "se la f.d è esatta su A, allora è chiusa su A". Da questo teorema io deduco che se la tesi non è verificata, allora nemmeno l'ipotesi può essere verificata. Quindi il fatto che la mia f.d non sia chiusa sul suo dominio mi permette di concludere che NON E' ESATTA sul suo dominio.
La soluzione dell'esercizio dice però che questa f.d è esatta, e io non riesco proprio a capire perché i miei ragionamenti sono errati. Vi ringrazio, sono davvero in crisi!
Sono profondamente demotivato e vi spiego il perché. La forma differenziale è definita su tutto il piano, che è un insieme semplicemente connesso. Inoltre si verifica subito che la forma differenziale NON E' CHIUSA sul suo dominio. Quindi il teorema "se la f.d è chiusa su un semplicemente connesso allora è esatta su quell'insieme" non mi permette di concludere che è esatta sul suo dominio, giusto?
C'è però un altro teorema che recita così: "se la f.d è esatta su A, allora è chiusa su A". Da questo teorema io deduco che se la tesi non è verificata, allora nemmeno l'ipotesi può essere verificata. Quindi il fatto che la mia f.d non sia chiusa sul suo dominio mi permette di concludere che NON E' ESATTA sul suo dominio.
La soluzione dell'esercizio dice però che questa f.d è esatta, e io non riesco proprio a capire perché i miei ragionamenti sono errati. Vi ringrazio, sono davvero in crisi!
Risposte
sei sicuro che la forma differenziale sia scritta correttamente?
Ciao, si il testo è corretto. Quello che ho scritto è giusto?
Grazie!
Grazie!
L'esattezza, cioè l'esistenza di un potenziale, di una f.d.l. avente coefficienti di classe \(C^1\) in un aperto implica sempre la chiusura (questa è conseguenza del teorema di Schwarz).
Nel tuo caso, dunque, la f.d.l. non può essere esatta perché è \(C^1\) e non è chiusa.
L'inverso, cioè l'implicazione \(\text{f.d.l. di classe } C^1 \text{ chiusa} \Rightarrow \text{f.d.l. esatta}\), non è sempre vera; ma, se si aggiunge l'ipotesi che i dominio sia semplicemente connesso, essa diviene vera.
Per calcolare 'integrale, allora, ti conviene sfruttare direttamente la definizione di integrale di linea.
Nel tuo caso, dunque, la f.d.l. non può essere esatta perché è \(C^1\) e non è chiusa.
L'inverso, cioè l'implicazione \(\text{f.d.l. di classe } C^1 \text{ chiusa} \Rightarrow \text{f.d.l. esatta}\), non è sempre vera; ma, se si aggiunge l'ipotesi che i dominio sia semplicemente connesso, essa diviene vera.
Per calcolare 'integrale, allora, ti conviene sfruttare direttamente la definizione di integrale di linea.
Quella forma non è chiusa e nemmeno esatta (di conseguenza). Quella chiusa/esatta che più le si avvicina è questa
$e^y\ dx+(1+x e^y)\ dy$
Dove hai trovato questo esercizio? E soprattutto, se guardi la risoluzione, sei sicuro che ad un certo punto non usi quella che ho scritto io e pertanto la traccia ha un refuso?
$e^y\ dx+(1+x e^y)\ dy$
Dove hai trovato questo esercizio? E soprattutto, se guardi la risoluzione, sei sicuro che ad un certo punto non usi quella che ho scritto io e pertanto la traccia ha un refuso?
Ok perfetto, quindi avete confermato i miei ragionamenti. Gli esercizi li ho presi da qui:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~silvia.mar ... ambter.pdf
e quello che ho postato è il numero 1 del paragrafo 3.
Ho provato a fare altri esercizi della raccolta in questione e ho trovato altri errori (ne sono sicuro, perché ho controllato e ricontrollato i miei conti non so quante volte). Errori o nel testo dell'esercizio o nei segni ecc...Il fatto di prestare poca attenzione nel comporre gli esercizi non è limitato solo a questa raccolta, ma a molte altre. In questi giorni prima dell'esame infatti mi sono scariucato dal web un pò di pdf, e ho trovato tanmtissimi errori; in un post ad esempio ho scritto che c'era un esercizio in cui si chiedeva di integrare una forma differenziale su una curva che però non giaceva nel dominio della f.d: pazzesco!!!
Ma mi spiegate cosa ci vuole a ricontrollare un pdf prima di metterlo in rete? io questa la trovo un a mancanza di rispetto nei confronti di chi si trova a fare quegli esercizi...non mi puoi far perdere un'ora a controllare e ricontrollare e a sbattere la testa perché tu sei stato poco attento a scrivere l'esercfizio in pdf! E non stiamo parlando di esercizi presi chissà dove, ma di esercizi presi da siti delle universita, esercizi che si suppone siano stato scritti da professori. Un errore è tollerabile, ma se in un pdf ce ne sono 2 o 3 (di natura logica certe volte) allora significa proprio che chi ha scritto il pdf o è impreparato, o è un menefreghista o lo fa apposta a scrivere esercizi fallati. Scusate lo sfogo!
http://www.dmmm.uniroma1.it/~silvia.mar ... ambter.pdf
e quello che ho postato è il numero 1 del paragrafo 3.
Ho provato a fare altri esercizi della raccolta in questione e ho trovato altri errori (ne sono sicuro, perché ho controllato e ricontrollato i miei conti non so quante volte). Errori o nel testo dell'esercizio o nei segni ecc...Il fatto di prestare poca attenzione nel comporre gli esercizi non è limitato solo a questa raccolta, ma a molte altre. In questi giorni prima dell'esame infatti mi sono scariucato dal web un pò di pdf, e ho trovato tanmtissimi errori; in un post ad esempio ho scritto che c'era un esercizio in cui si chiedeva di integrare una forma differenziale su una curva che però non giaceva nel dominio della f.d: pazzesco!!!
Ma mi spiegate cosa ci vuole a ricontrollare un pdf prima di metterlo in rete? io questa la trovo un a mancanza di rispetto nei confronti di chi si trova a fare quegli esercizi...non mi puoi far perdere un'ora a controllare e ricontrollare e a sbattere la testa perché tu sei stato poco attento a scrivere l'esercfizio in pdf! E non stiamo parlando di esercizi presi chissà dove, ma di esercizi presi da siti delle universita, esercizi che si suppone siano stato scritti da professori. Un errore è tollerabile, ma se in un pdf ce ne sono 2 o 3 (di natura logica certe volte) allora significa proprio che chi ha scritto il pdf o è impreparato, o è un menefreghista o lo fa apposta a scrivere esercizi fallati. Scusate lo sfogo!
Guardando il valore che calcola per l'integrale, sono convinto che usi come primitiva $U(x,y)=y+xe^y$ e pertanto la forma corretta è quella che ti ho scritto.
EDIT: quello che dici è giusto, ma un refuso così "piccolo" può sfuggire (si trattava di aggiungere una $x$ nella seconda componente).
EDIT: quello che dici è giusto, ma un refuso così "piccolo" può sfuggire (si trattava di aggiungere una $x$ nella seconda componente).
"lisdap":
Ma mi spiegate cosa ci vuole a ricontrollare un pdf prima di metterlo in rete? io questa la trovo un a mancanza di rispetto nei confronti di chi si trova a fare quegli esercizi...non mi puoi far perdere un'ora a controllare e ricontrollare e a sbattere la testa perché tu sei stato poco attento a scrivere l'esercfizio in pdf! E non stiamo parlando di esercizi presi chissà dove, ma di esercizi presi da siti delle universita, esercizi che si suppone siano stato scritti da professori. Un errore è tollerabile, ma se in un pdf ce ne sono 2 o 3 (di natura logica certe volte) allora significa proprio che chi ha scritto il pdf o è impreparato, o è un menefreghista o lo fa apposta a scrivere esercizi fallati. Scusate lo sfogo!
E mi spieghi che ci vuole a segnalare gli eventuali errori a chi ha compilato quei fogli?
Lisdap, i refusi capitano, soprattutto se si scrive di fretta.
D'altra parte, il materiale in rete serve da supporto per corsi "live"; quindi chi segue quel corso ha certamente il testo dell'esercizio corretto sotto mano.
Anche per questo il materiale reperito in rete non è una buona fonte di informazioni per chi non è studente e, proprio per questo, ci si dovrebbe sempre appoggiare su libri.
Di eserciziari decenti ce ne sono a bizzeffe, a partire dal Marcellini-Sbordone in poi...
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