Perchè P(x0) > Q in questa dimostrazione dell'esistenza degli zeri di un polinomio?
Per arrivare al teorema della radice ennesima reale di un numero positivo il mio testo di Analisi si serve di un teorema sugli zeri di un polinomio a coefficienti reali, per cui si serve di un altro lemma che recita:
Sia \(P(x) = \sum_{i=0}^k a_i x^i \) un polinomio a coefficienti reali. Se per un certo \(x_0 \in R\) si ha \(P(x_0) > 0\), allora esiste un intorno \(I(x_0, r)\) di \(x_0\), tale che, per ogni \(x \in I(x_0, r)\), risulta \(P(x) > 0\).
Segue da precedenti disequazioni(presupponendo \(|x - x_0| < 1\)) che:
\(|P(x) - P(x_0)| \le |x - x_0| \sum_{i=1}^k i |a_i| (1 + |x_0|)^{i-1} = Q |x - x_0|\)
per ogni \(x \in I(x_0, r)\).
Se si sceglie \( r = min(1, \frac{P(x_0)}{Q})\)
si ottiene, per ogni \(x_0 \in I(x_0, r)\)
\(P(x) = P(x_0) + P(x) - P(x_0) \ge P(x_0) - |P(x) - P(x_0)| > P(x_0) - Q r > 0\)
Quello che non mi torna è l'ultima disequazione. Come posso essere sicuro che \(P(x_0) > Qr\)? O anche solo \(\ge\) che credo basti. Spero di non aver omesso niente di importante nel cercare di essere sintetico.
Sia \(P(x) = \sum_{i=0}^k a_i x^i \) un polinomio a coefficienti reali. Se per un certo \(x_0 \in R\) si ha \(P(x_0) > 0\), allora esiste un intorno \(I(x_0, r)\) di \(x_0\), tale che, per ogni \(x \in I(x_0, r)\), risulta \(P(x) > 0\).
Segue da precedenti disequazioni(presupponendo \(|x - x_0| < 1\)) che:
\(|P(x) - P(x_0)| \le |x - x_0| \sum_{i=1}^k i |a_i| (1 + |x_0|)^{i-1} = Q |x - x_0|\)
per ogni \(x \in I(x_0, r)\).
Se si sceglie \( r = min(1, \frac{P(x_0)}{Q})\)
si ottiene, per ogni \(x_0 \in I(x_0, r)\)
\(P(x) = P(x_0) + P(x) - P(x_0) \ge P(x_0) - |P(x) - P(x_0)| > P(x_0) - Q r > 0\)
Quello che non mi torna è l'ultima disequazione. Come posso essere sicuro che \(P(x_0) > Qr\)? O anche solo \(\ge\) che credo basti. Spero di non aver omesso niente di importante nel cercare di essere sintetico.
Risposte
Ciao notkinda12, benvenut* sul forum!
Ora non ho molto tempo, ma: dato che $r=\min\left(1,\frac{P(x_0)}{Q}\right)$, per definizione di minimo è $r \le 1$ ed $r \le \frac{P(x_0)}{Q}$. Da questa seconda, segue $-r \ge - \frac{P(x_0)}{Q}$. Se $Q>0$, allora da ciò segue $-Qr\ge -P(x_0)$ e quindi $P(x_0)-Qr \ge 0$. Lascio momentaneamente a te i dettagli sul dedurre perché $Q>0$ e sul perché vale la disuguaglianza stretta. Casomai, se ho più tempo nei prossimi giorni e non hai concluso lo rivediamo insieme.
Edit: ho visto ora che una disuguaglianza nella catena di disuguaglianze è stretta (quindi la disuguaglianza che ti interessa è automaticamente stretta anche se l'ultima disuguaglianza è non stretta), mentre, se non ho capito male, è stato posto $Q=\sum_{i=1}^k i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}$ e perciò, chiaramente, è $Q>0$ in quanto somma di quantità positive (perché $i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1} \ge 0$ per ogni $i \in \{1,...,k\}$ e $i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}=0$ se e solo se $a_i=0$ per ogni $i\in\{1,...,k\}$, ossia nel caso in cui $P$ è il polinomio nullo, ma ciò non è possibile perché per ipotesi esiste $x_0$ tale che $P(x_0)>0$). Quindi, quello che ho scritto prima dovrebbe permetterti di concludere. Se hai ulteriori dubbi, chiedi pure!
Ora non ho molto tempo, ma: dato che $r=\min\left(1,\frac{P(x_0)}{Q}\right)$, per definizione di minimo è $r \le 1$ ed $r \le \frac{P(x_0)}{Q}$. Da questa seconda, segue $-r \ge - \frac{P(x_0)}{Q}$. Se $Q>0$, allora da ciò segue $-Qr\ge -P(x_0)$ e quindi $P(x_0)-Qr \ge 0$. Lascio momentaneamente a te i dettagli sul dedurre perché $Q>0$ e sul perché vale la disuguaglianza stretta. Casomai, se ho più tempo nei prossimi giorni e non hai concluso lo rivediamo insieme.
Edit: ho visto ora che una disuguaglianza nella catena di disuguaglianze è stretta (quindi la disuguaglianza che ti interessa è automaticamente stretta anche se l'ultima disuguaglianza è non stretta), mentre, se non ho capito male, è stato posto $Q=\sum_{i=1}^k i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}$ e perciò, chiaramente, è $Q>0$ in quanto somma di quantità positive (perché $i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1} \ge 0$ per ogni $i \in \{1,...,k\}$ e $i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}=0$ se e solo se $a_i=0$ per ogni $i\in\{1,...,k\}$, ossia nel caso in cui $P$ è il polinomio nullo, ma ciò non è possibile perché per ipotesi esiste $x_0$ tale che $P(x_0)>0$). Quindi, quello che ho scritto prima dovrebbe permetterti di concludere. Se hai ulteriori dubbi, chiedi pure!
Intanto grazie mille per la disponibilità e per il benvenuto. La questione della disuguaglianza stretta in effetti è stata una mia svista. Sul fatto che $Q$ fosse strettamente positivo non avevo dubbi, mentre la penultima disuguaglianza immagino che implichi \(r \ge 1\). Non avevo considerato \(min\) in quel modo ed effettivamente ha senso. Quello che continuo a non capire è l'ultima disuguaglianza stretta. Infatti se \(r = \frac{P(x_0)}{Q}\), allora \(Q r = P(x_0)\), a meno di mie ulteriori sviste. C'è qualcosa che mi garantisce che \(r = 1\) sempre? E che quindi quella frazione sia sempre maggiore di 1? Non ricordo assolutamente niente di divisioni di polinomi 
Espando qui la risposta precedente visto che non posso ancora editarla. I termini di $Q$ sono elevati a un grado in meno, ma c'è quella somma e sono moltiplicati per \(i |a_i|\), con il coefficiente \(a_i\) non solo in valore assoluto, ma anche "shiftato" rispetto a \(P(x_0)\). Cosa mi garantisce che come da proprietà di Archimede da qualche parte non abbia un \(i |a_i|\) tale da rendere \(Q \ge P(x_0)\)?
Prego!
Quale penultima disuguaglianza? Ti conviene citarla, o non è facile seguirti. Inoltre, non capisco come qualsiasi delle cose dette dovrebbe implicare $r \ge 1$. Innanzitutto, come già detto abbiamo definito $r=\text{min}\left(1,\frac{P(x_0)}{Q}\right)$ e quindi, per quanto detto sulla definizione di minimo, è $r \le 1$. Quindi, la disuguaglianza è dall'altro verso rispetto a quella che hai scritto nella parte che ho quotato. L'unico caso compatibile con entrambi è $r=1$, ma quello è lecito perché nella definizione di $r$ è possibile che $r=1$.
Mi stavo facendo un po' di conti e da $x\in(x_0-r,x_0+r)$ segue $|x-x_0|
$$=\sum_{i=1}^k \left(|a_i|\cdot |x-x_0| \cdot \left|\sum_{n=1}^i x^{i-1}x_0^{n-1}\right|\right) \le |x-x_0|\sum_{i=1}^k \left(|a_i|\cdot \sum_{n=1}^i |x|^{i-n}|x_0|^{n-1}\right)$$
$$<|x-x_0| \sum_{i=1}^k \left(|a_i|\cdot \sum_{n=1}^i (1+|x_0|)^{i-n}(1+|x_0|)^{n-1}\right)=|x-x_0|\sum_{i=1}^k \left(|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}\sum_{n=1}^i 1\right)$$
$$=|x-x_0| \sum_{i=1}^k i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}=Q|x-x_0| \le Qr$$
Quindi, vista la presenza di almeno una disuguaglianza stretta, dovrebbe essere questo il motivo per cui $|P(x)-P(x_0)|.
Non ti sto seguendo qui. A parte che credo tu intendessi $Qr \ge P(x_0)$ nell'ultima disuguaglianza che ho citato appena sopra, in ogni caso: ricorda che tu vuoi solamente mostrare l'esistenza di un opportuno intorno di $x_0$ nel quale per ogni $x$ risulta $P(x)>0$. Non deve valere sempre: basta trovare un intorno di $x_0$ in cui vale. Avendo esibito un $r$ che funziona (e il motivo per cui funziona segue dalla definizione di minimo nella prima risposta che ti ho dato), ciò basta. Quindi, anche se da qualche parte ciò non è verificato, non ti deve importare perché ti basta che sia verificato in quell'intorno; e questo è quello che è stato dimostrato. Spero di aver chiarito tutti i tuoi dubbi!
P.S.: Posso chiederti che libro di analisi è?
"notkinda12":
mentre la penultima disuguaglianza immagino che implichi \(r \ge 1\)
Quale penultima disuguaglianza? Ti conviene citarla, o non è facile seguirti
. Inoltre, non capisco come qualsiasi delle cose dette dovrebbe implicare $r \ge 1$. Innanzitutto, come già detto abbiamo definito $r=\text{min}\left(1,\frac{P(x_0)}{Q}\right)$ e quindi, per quanto detto sulla definizione di minimo, è $r \le 1$. Quindi, la disuguaglianza è dall'altro verso rispetto a quella che hai scritto nella parte che ho quotato. L'unico caso compatibile con entrambi è $r=1$, ma quello è lecito perché nella definizione di $r$ è possibile che $r=1$."notkinda12":
Quello che continuo a non capire è l'ultima disuguaglianza stretta. Infatti se \(r = \frac{P(x_0)}{Q}\), allora \(Q r = P(x_0)\), a meno di mie ulteriori sviste. C'è qualcosa che mi garantisce che \(r = 1\) sempre? E che quindi quella frazione sia sempre maggiore di 1? Non ricordo assolutamente niente di divisioni di polinomi
Mi stavo facendo un po' di conti e da $x\in(x_0-r,x_0+r)$ segue $|x-x_0|
$$=\sum_{i=1}^k \left(|a_i|\cdot |x-x_0| \cdot \left|\sum_{n=1}^i x^{i-1}x_0^{n-1}\right|\right) \le |x-x_0|\sum_{i=1}^k \left(|a_i|\cdot \sum_{n=1}^i |x|^{i-n}|x_0|^{n-1}\right)$$
$$<|x-x_0| \sum_{i=1}^k \left(|a_i|\cdot \sum_{n=1}^i (1+|x_0|)^{i-n}(1+|x_0|)^{n-1}\right)=|x-x_0|\sum_{i=1}^k \left(|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}\sum_{n=1}^i 1\right)$$
$$=|x-x_0| \sum_{i=1}^k i|a_i|(1+|x_0|)^{i-1}=Q|x-x_0| \le Qr$$
Quindi, vista la presenza di almeno una disuguaglianza stretta, dovrebbe essere questo il motivo per cui $|P(x)-P(x_0)|
."notkinda12":
Cosa mi garantisce che come da proprietà di Archimede da qualche parte non abbia un \(i |a_i|\) tale da rendere \(Q \ge P(x_0)\)?
Non ti sto seguendo qui. A parte che credo tu intendessi $Qr \ge P(x_0)$ nell'ultima disuguaglianza che ho citato appena sopra, in ogni caso: ricorda che tu vuoi solamente mostrare l'esistenza di un opportuno intorno di $x_0$ nel quale per ogni $x$ risulta $P(x)>0$. Non deve valere sempre: basta trovare un intorno di $x_0$ in cui vale. Avendo esibito un $r$ che funziona (e il motivo per cui funziona segue dalla definizione di minimo nella prima risposta che ti ho dato), ciò basta. Quindi, anche se da qualche parte ciò non è verificato, non ti deve importare perché ti basta che sia verificato in quell'intorno; e questo è quello che è stato dimostrato. Spero di aver chiarito tutti i tuoi dubbi!
P.S.: Posso chiederti che libro di analisi è?
Non solo sono confuso io, ma faccio confondere anche gli altri. Grazie per la pazienza!
Credo che ci siamo. Il testo(che è la seconda edizione del Giusti, consigliata dal prof perchè secondo lui i testi più recenti non vanno bene) fa più o meno quello che hai fatto tu, e a questo punto credo che avrei dovuto davvero riportare tutto. La differenza è che tu a un certo punto hai messo una disuguaglianza stretta, ma il libro dopo passaggi senza disuguaglianze strette se non quelle che riguardano \(|x|\) e \(|x_0|\) scrive in modo leggermente più criptico:
\(|P(x) - P(x_0)| \le |x - x_0| \sum_{i=1}^k i |a_i| (1+x_0)^{i-1} = Q|x - x_0|\)
Avevo pensato che \(r \ge 1\) perchè \(|P(x) - P(x_0)| \le Q |x - x_0|\) e \(P(x_0) - |P(x) - P(x_0)| > P(x_0) - Q r\), con \(|x - x_0| <1\) e \(P(x_0)\) positivo.
Invece per l'ultima domanda(più per completezza che altro, visto che mi hai già convinto), intendevo che \(r = 1\) necessariamente, perchè altrimenti \(P(x_0) - Q r = P(x_0) - Q \frac{P(x_0)}{Q} = 0\), e quindi \(r > |x - x_0|\) avrebbe giustificato la disuguaglianza stretta visto che \(|P(x) - P(x_0)| \le Q |x - x_0|\) da quello che ho scritto sopra. Ma \(r = 1\) implica \(\frac{P(x_0)}{Q} \ge 1\), e in realtà \(\frac{P(x_0)}{Q} > 1\), perchè altrimenti ci sarebbe lo stesso problema essendoci la possibilità che \(P(x_0) - Q * 1 = P(x_0) - Q \frac{P(x_0)}{Q}\). Essendo entrambe quantità positive \(P(x_0) > Q\), così \(\frac{P(x_0)}{Q} > 1\).
Credo che ci siamo. Il testo(che è la seconda edizione del Giusti, consigliata dal prof perchè secondo lui i testi più recenti non vanno bene) fa più o meno quello che hai fatto tu, e a questo punto credo che avrei dovuto davvero riportare tutto. La differenza è che tu a un certo punto hai messo una disuguaglianza stretta, ma il libro dopo passaggi senza disuguaglianze strette se non quelle che riguardano \(|x|\) e \(|x_0|\) scrive in modo leggermente più criptico:
\(|P(x) - P(x_0)| \le |x - x_0| \sum_{i=1}^k i |a_i| (1+x_0)^{i-1} = Q|x - x_0|\)
Avevo pensato che \(r \ge 1\) perchè \(|P(x) - P(x_0)| \le Q |x - x_0|\) e \(P(x_0) - |P(x) - P(x_0)| > P(x_0) - Q r\), con \(|x - x_0| <1\) e \(P(x_0)\) positivo.
Invece per l'ultima domanda(più per completezza che altro, visto che mi hai già convinto), intendevo che \(r = 1\) necessariamente, perchè altrimenti \(P(x_0) - Q r = P(x_0) - Q \frac{P(x_0)}{Q} = 0\), e quindi \(r > |x - x_0|\) avrebbe giustificato la disuguaglianza stretta visto che \(|P(x) - P(x_0)| \le Q |x - x_0|\) da quello che ho scritto sopra. Ma \(r = 1\) implica \(\frac{P(x_0)}{Q} \ge 1\), e in realtà \(\frac{P(x_0)}{Q} > 1\), perchè altrimenti ci sarebbe lo stesso problema essendoci la possibilità che \(P(x_0) - Q * 1 = P(x_0) - Q \frac{P(x_0)}{Q}\). Essendo entrambe quantità positive \(P(x_0) > Q\), così \(\frac{P(x_0)}{Q} > 1\).
Prego! Concludo dicendo che mi sono andato a vedere quella parte del Giusti (seconda edizione) ed effettivamente non è precisissima sulle disuguaglianze. Se vedi la dimostrazione del lemma precedente, il $4.1$, quando dice "D'altra parte..." afferma che $|x|<|x-x_0|+|x_0|$. Ma se $x=x_0$ vale l'uguaglianza $|x|=|x-x_0|+|x|$, e in quel contesto è lecito prendere $x=x_0$ perché le ipotesi del lemma sono $x,x_0 \in \mathbb{R}$ tali che $|x-x_0|<1$ (quindi, per l'arbitrarietà di $x,x_0 \in \mathbb{R}$, in particolare può essere $x=x_0$ e in tal caso è anche $|x_0-x_0|=|0|=0<1$). Quindi, là avrebbe dovuto scrivere $|x| \le |x-x_0|+|x|$ (che poi è l'espressione più generale della disuguaglianza triangolare). Perciò, secondo me, le disuguaglianze strette seguono semplicemente da $|x_0|<1+|x_0|$, da cui segue che per ogni $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, per ogni $i\in{1,...,k\}$ e per ogni $n \in \{1,...,i\}$ risulta $i|x|^{n-i}|x_0|^{n-1}0$ e quindi le disuguaglianze strette valgono anche sommando le disuguaglianze per $n \in \{1,...,i\}$ e per $i \in {1,...,k\}$. È necessario assicurarsi che per almeno un $i_0 \in {1,...,k\}$ sia $|a_{i_0}|>0$, perché se tutti gli $a_i$ sono nulli chiaramente quando sommi per $i \in {1,...,k\}$ viene $0$ a sinistra e $0$ a destra, quindi vale l'uguaglianza e ciò non lo vogliamo. Se torni indietro, l'ho dimostrato nella prima risposta.
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