Perchè lo sviluppo di \(\displaystyle e^{senx} \)...

[smaug1]

perchè lo sviluppo di \(\displaystyle e^{senx} \) non è:

\(\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} ??\)

Se dicessi \(\displaystyle y= senx \), segue che \(\displaystyle e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{6} \)
\(\displaystyle = \)\(\displaystyle 1 + senx + \frac{sen^2x}{2} + \frac{sen^3x}{6} \), essendo \(\displaystyle senx \sim x \)
\(\displaystyle = \)\(\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\)

mentre lo sviluppo in teoria sarebbe \(\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2} -\frac{x^4}{8}\)

potreste spiegarmelo? Grazie

[Seneca1]

"davidedesantis":perchè lo sviluppo di \(\displaystyle e^{senx} \) non è:

\(\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} ??\)

Se dicessi \(\displaystyle y= senx \), segue che \(\displaystyle e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{6} \)
\(\displaystyle = \)\(\displaystyle 1 + senx + \frac{sen^2x}{2} + \frac{sen^3x}{6} \), essendo \(\displaystyle senx \sim x \)
\(\displaystyle = \)\(\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\)

mentre lo sviluppo in teoria sarebbe \(\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2} -\frac{x^4}{8}\)

potreste spiegarmelo? Grazie

Probabilmente perché, andando a sostituire, ti ritroveresti:

$e^(sin(x)) = 1 + sin(x) + (sin^2(x))/2 + (sin^3(x))/6 + o (sin^3(x))$

E approssimando come dici tu: $1 + ( x + o(x) ) + "ecc..." $. Come vedi già all'inizio dello sviluppo compare un $o(x)$ che si pappa tutte le potenze $x^n$ con $n > 1$. Quindi, in effetti, lo sviluppo che troveresti è corretto, ma sarebbe una approssimazione lineare con un resto che è $o(x)$.

Per evitare questo devi rimboccarti le maniche e sviluppare maggiormente il seno.

[smaug1]

si ma continuando a sviluppare il termine \(\displaystyle x^3 \) non sparisce, quando invece non ci dovrebbe proprio essere...forse seneca non ho capito quello che intendevi...perchè non mi viene con la sostituzione?

[ciampax]

$\sin x=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)$ da cui

$e^\sin x=1+x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)+1/2(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^2$
$+1/6(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^3+1/24(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^4+o[(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^4]=$

calcolando le potenze e prendendo solo quelle fino alla quarta si ha

$=1+x-x^3/6+1/2(x^2-x^4/3)+1/6(x^3)+1/24(x^4)+o(x^4)=1+x+x^2/2-x^4/8+o(x^4)$

[Seneca1]

"ciampax":$\sin x=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)$ da cui

$e^\sin x=1+x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)+1/2(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^2$
$+1/6(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^3+1/24(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^4+o[(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^4]=$

calcolando le potenze e prendendo solo quelle fino alla quarta si ha

$=1+x-x^3/6+1/2(x^2-x^4/3)+1/6(x^3)+1/24(x^4)+o(x^4)=1+x+x^2/2-x^4/8+o(x^4)$

Che volontà!

[smaug1]

ho capito adesso! Grazie!!

[ciampax]

"Seneca":[quote="ciampax"]$\sin x=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)$ da cui

$e^\sin x=1+x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)+1/2(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^2$
$+1/6(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^3+1/24(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^4+o[(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^4]=$

calcolando le potenze e prendendo solo quelle fino alla quarta si ha

$=1+x-x^3/6+1/2(x^2-x^4/3)+1/6(x^3)+1/24(x^4)+o(x^4)=1+x+x^2/2-x^4/8+o(x^4)$

Che volontà! [/quote]

Lo avevo scritto da un'altra parte!

[gugo82]

In maniera più semplice, con la definizione.

Sai che lo \(n\)-esimo coefficiente dello sviluppo di Taylor è:
\[
a_n:=\frac{1}{n!}\ \frac{\text{d}^n}{\text{d} x^n}e^{\sin x}\Bigg|_{x=0}\; ,
\]
quindi basta calcolare un po' di derivate.
Posto \(f(x)=e^{\sin x}\), trovi:
\[
\begin{split}
f^\prime (x) &= \cos x\ e^{\sin x}\\
f^{\prime \prime} (x) &= (\cos^2 x - \sin x)\ e^{\sin x}\\
f^{(3)} (x) &= (\cos^3 x -3\sin x \cos x -\cos x)\ e^{\sin x}\\
f^{(4)} (x) &= (\cos^4 x -4\cos^2 x -6\sin x \cos^2 x +3\sin^2 x+\sin x)\ e^{\sin x}
\end{split}
\]
e di qui:
\[
a_0 = 1,\quad a_1 = 1,\quad a_2 = \frac{1}{2},\quad a_3 = 0,\quad a_4 = -\frac{1}{8}
\]
ergo:
\[
f(x) = 1+x+\frac{1}{2}\ x^2 -\frac{1}{8}\ x^4 +\text{o}(x^4)\; .
\]

[ciampax]

Gughetto, pure tu c'hai na volontà non indifferente!