Perchè l'integrale esce così?
salve a tutti......è giusto l'integrale $\int4cos(4x+8y^2)dx+\int16ycos(4x+8y^2)+7dy$ ?
il primo integrale mi da $sen(4x+8y^2)$ mentre l'altro $sen(4x+8y^2)+7y$
la loro somma è $2sen(4x+8y^2)+7y$ ma il risultato non prevede il $2$....perchè??
grazie
il primo integrale mi da $sen(4x+8y^2)$ mentre l'altro $sen(4x+8y^2)+7y$
la loro somma è $2sen(4x+8y^2)+7y$ ma il risultato non prevede il $2$....perchè??
grazie
Risposte
"bius88":
salve a tutti......è giusto l'integrale $\int4cos(4x+8y^2)dx+\int16ycos(4x+8y^2)+7dy$ ?
il primo integrale mi da $sen(4x+8y^2)$ mentre l'altro $sen(4x+8y^2)+7y$
la loro somma è $2sen(4x+8y^2)+7y$ ma il risultato non prevede il $2$....perchè??
grazie
Se il secondo integrale è questo
$int(16ycos(4x+8y^2)+7)dy$
abbiamo, come da te postato:
$\int4cos(4x+8y^2)dx+\int(16ycos(4x+8y^2)+7)dy = 2sen(4x+8y^2)+7y+c$
si è così ......però il risultato dato non prevede il 2 cioè:>$sen(4x+8y^2)+7y$....
in effetti si deve cercare una costante opportuna
un'altra cosa......$sen(4x+8y^2)+7y$ è una primitiva di $\int4cos(4x+8y^2)dx+\int(16ycos(4x+8y^2)+7)dy$??
"bius88":
un'altra cosa......$sen(4x+8y^2)+7y$ è una primitiva di $\int4cos(4x+8y^2)dx+\int(16ycos(4x+8y^2)+7)dy$??
Fai il differenziale della tua $F(x.y)$
se non sbaglio è una primitiva
"bius88":
se non sbaglio è una primitiva
$h(x,y)dx + g(x,y)dy$ (1)
con h e g, funzioni numeriche di due variabili e definite in un campo aperto $A$ di $R^2$, si dice forma differenziabile lineare in due variabili.
La forma h(x,y)dx + g(x,y)dy si dice un differenziale esatto (o che è integrabile) in $A$ se esiste una funzione numerica $F$ definita nel campo $A$, ivi continua con le sue derivate parziali prime, tale che:
$dF = hdx + gdy$
La funzione F si dice una primitiva o un integrale della forma (1)
ma per calcolare la primitiva di una funzione differenziale come devo fare?? se integro il risultato mi da sempre diverso...
Per esempio: primitiva della forma differenziale:$3x^2ydx+x^3dy$.....
faccio l'integrale:$\int3x^2ydx+\intx^3dy$ ed esce:$2x^3y$; ma questo risultato non è presente tra le primitive date....quello che si avvicina di più è $x^3y$
(anche questa volta senza il 2)...
come la trovo questa primitiva?? grazie 1000!
faccio l'integrale:$\int3x^2ydx+\intx^3dy$ ed esce:$2x^3y$; ma questo risultato non è presente tra le primitive date....quello che si avvicina di più è $x^3y$
(anche questa volta senza il 2)...
come la trovo questa primitiva?? grazie 1000!
Ciao a tutti!
Il punto secondo me è che quando si parla di integrali di forme differenziali bisogna tenere presente che stiamo integrando lungo una traiettoria del piano x,y. Siamo quindi costretti ad introdurre un punto arbitrario "iniziale", chiamiamolo $P_0 = (x_0 , y_0)$ , da cui far partire la traiettoria che termina nel generico punto $ P = ( x,y )$. Ora siccome la primitiva ha senso solo se la forma differenziale è esatta possiamo scegliere il cammino che preferiamo. La spezzata è, di solito, la curva più semplice da considerare. Con spezzata intendo l'unione dei due segmenti $P_0 P'$ con $P' = (x , y_0)$ (ad esempio, avremmo potuto tenere costante la x e "camminare" lungo y) e l'altro che è $ P' P $
Ora la primitiva diventa l'integrale lungo questa particolare curva, che esplicitamente si calcola così
$F(x,y) = int_(P_0)^P d\omega = \int_((x_0,y_0))^((x,y_0)) g(x,y) dx + \int_((x,y_0))^((x,y)) h(x,y) dy $
Questo risulltato dipende anche dal punto iniziale, ma è arbitrario, a seconda dei casi che consideri, puoi scegliere un punto iniziale "comodo" che ti annulla il termine noto.
Se provi con l'ultima che hai postato viene
$F(x,y)=\int_((x_0,y_0))^((x,y_0)) 3x^2y dx+\int_((x,y_0))^((x,y)) x^3 dy = [x^3 y]_((x_0,y_0))^((x,y_0)) + [x^3 y]_((x,y_0))^((x,y)) = ( x^3 y_0 - x_0^3 y_0 ) + ( x^3 y - x^3 y_0 )$
Come vedi il primo e l'ultimo termine si annullano, e lo fanno sempre, puoi vederlo come il "marchio" dell'esattezza della forma differenziale. Rimane
$F(x,y)= x^3 y - x_0^3 y_0 $
Se scegli come punto iniziale $P_0= (0,0)$ annulli la costante e hai il risultato che cercavi.
Prova anche con la prima e vedrai che torna...
Il punto secondo me è che quando si parla di integrali di forme differenziali bisogna tenere presente che stiamo integrando lungo una traiettoria del piano x,y. Siamo quindi costretti ad introdurre un punto arbitrario "iniziale", chiamiamolo $P_0 = (x_0 , y_0)$ , da cui far partire la traiettoria che termina nel generico punto $ P = ( x,y )$. Ora siccome la primitiva ha senso solo se la forma differenziale è esatta possiamo scegliere il cammino che preferiamo. La spezzata è, di solito, la curva più semplice da considerare. Con spezzata intendo l'unione dei due segmenti $P_0 P'$ con $P' = (x , y_0)$ (ad esempio, avremmo potuto tenere costante la x e "camminare" lungo y) e l'altro che è $ P' P $
Ora la primitiva diventa l'integrale lungo questa particolare curva, che esplicitamente si calcola così
$F(x,y) = int_(P_0)^P d\omega = \int_((x_0,y_0))^((x,y_0)) g(x,y) dx + \int_((x,y_0))^((x,y)) h(x,y) dy $
Questo risulltato dipende anche dal punto iniziale, ma è arbitrario, a seconda dei casi che consideri, puoi scegliere un punto iniziale "comodo" che ti annulla il termine noto.
Se provi con l'ultima che hai postato viene
$F(x,y)=\int_((x_0,y_0))^((x,y_0)) 3x^2y dx+\int_((x,y_0))^((x,y)) x^3 dy = [x^3 y]_((x_0,y_0))^((x,y_0)) + [x^3 y]_((x,y_0))^((x,y)) = ( x^3 y_0 - x_0^3 y_0 ) + ( x^3 y - x^3 y_0 )$
Come vedi il primo e l'ultimo termine si annullano, e lo fanno sempre, puoi vederlo come il "marchio" dell'esattezza della forma differenziale. Rimane
$F(x,y)= x^3 y - x_0^3 y_0 $
Se scegli come punto iniziale $P_0= (0,0)$ annulli la costante e hai il risultato che cercavi.
Prova anche con la prima e vedrai che torna...
ok ho capito, molte grazie!
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