Perchè la funzione esponenziale non è definita per a<0.
La funzione esponenziale \(\displaystyle y=a^x \) non è definita per \(\displaystyle a<0 \). Cercando di capire bene perchè,evinco da una fonte che questo avvenga perchè non si definiscono potenze ad esponente razionale di numeri negativi. Da altra fonte, però, leggo che, quando il denominatore della frazione a cui è riconducibile il numero razionale all'esponente è dispari e quando l'esponente stesso è un numero naturale, la potenza è definita.
Assumendo che quanto detto da me sia vero (il che non è assolutamente certo), perchè, con \(\displaystyle a<0 \) non definire la funzione esponenziale con limitazioni del dominio e quindi ammettere anche il caso per cui \(\displaystyle a<0 \)?
Assumendo che quanto detto da me sia vero (il che non è assolutamente certo), perchè, con \(\displaystyle a<0 \) non definire la funzione esponenziale con limitazioni del dominio e quindi ammettere anche il caso per cui \(\displaystyle a<0 \)?
Risposte
Sapevo che fosse per questo motivo...
[Tra l'altro, in quel thread non che io abbia fatto una bellissima figura con una proprietà del logaritmo, ma dai propri errori si impara.
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[Tra l'altro, in quel thread non che io abbia fatto una bellissima figura con una proprietà del logaritmo, ma dai propri errori si impara.
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In G. De Marco Analisi 1 viene discusso brevemente il problema. Ti ho scannerizzato alcune pagine, non credo sia un problema dato che costituiscono molto meno del 15% dell'opera, e cito chiaramente la fonte.
Credo che quest'argomento sia interessante e (sfortunatamente) pieno di sottigliezze. Mettiamo, per un attimo, da parte il discorso in campo complesso (più articolato) e concentriamoci sui reali. Prendo spunto direttamente dal libro citato.
La critica "classica" è quella che possiamo chiamare "il problema della radice cubica di -8", riassumibile in:
[tex]-2 = (-8)^{ \frac{1}{3} } \neq (-8)^{ \frac{2}{6} } = \sqrt[6]{(-8)^2}=2[/tex]
Non possiamo rinunciare a certi fatti elementari: [tex]1/3 = 2/6[/tex] deve valere sempre; in caso contrario, non si è data una buona definizione. La regola di ridurre la frazione ai minimi termini è una pessima idea, è come nascondere la polvere sotto il tappeto e non merita ulteriori commenti. Fin qui ho praticamente citato l'autore, ora inizia la mia divergenza dal testo. Il testo dice che il problema è la perdita delle proprietà formali dei radicali. Questa, a mio parere, è la critica più debole in assoluto che si possa fare: i radicali, a livello di proprietà formali, sono ultimi in classifica.
Lascio a voi scoprire l'inghippo, ma a parte questo, la vera radice del problema è in campo complesso e, in ultima analisi, si tratta di capire come scrivere determinate proprietà in modo che siano formalmente accurate e non generino paradossi interni.
P.S. Invito anche a leggere Wikipedia.
La critica "classica" è quella che possiamo chiamare "il problema della radice cubica di -8", riassumibile in:
[tex]-2 = (-8)^{ \frac{1}{3} } \neq (-8)^{ \frac{2}{6} } = \sqrt[6]{(-8)^2}=2[/tex]
Non possiamo rinunciare a certi fatti elementari: [tex]1/3 = 2/6[/tex] deve valere sempre; in caso contrario, non si è data una buona definizione. La regola di ridurre la frazione ai minimi termini è una pessima idea, è come nascondere la polvere sotto il tappeto e non merita ulteriori commenti. Fin qui ho praticamente citato l'autore, ora inizia la mia divergenza dal testo. Il testo dice che il problema è la perdita delle proprietà formali dei radicali. Questa, a mio parere, è la critica più debole in assoluto che si possa fare: i radicali, a livello di proprietà formali, sono ultimi in classifica.
Lascio a voi scoprire l'inghippo, ma a parte questo, la vera radice del problema è in campo complesso e, in ultima analisi, si tratta di capire come scrivere determinate proprietà in modo che siano formalmente accurate e non generino paradossi interni.
P.S. Invito anche a leggere Wikipedia.
Io ho letto wikipedia, la voce "logaritmo": lì, se non erro, mi pare di capire che la potenza ad esponente razionale di un numero negativo è possibile se l'esponente è un numero naturale o razionale riconducibile ad una frazione con denominatore dispari.
Ma allora perchè non definire la funzione esponenziale con limitazioni del dominio a questi numeri (naturali, appunto, e razionali con denominatore dispari) ?
P.S.- Questa risposta non vuole essere un "up", assolutamente
.
Ma allora perchè non definire la funzione esponenziale con limitazioni del dominio a questi numeri (naturali, appunto, e razionali con denominatore dispari) ?
P.S.- Questa risposta non vuole essere un "up", assolutamente
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"turtle87":
Io ho letto wikipedia, la voce "logaritmo": lì, se non erro, mi pare di capire che la potenza ad esponente razionale di un numero negativo è possibile se l'esponente è un numero naturale o razionale riconducibile ad una frazione con denominatore dispari.
Ma allora perchè non definire la funzione esponenziale con limitazioni del dominio a questi numeri (naturali, appunto, e razionali con denominatore dispari) ?
P.S.- Questa risposta non vuole essere un "up", assolutamente
La butto lì, senza pretese (perché, in fondo, non ho capito bene il problema), come spunto di riflessione.
Probabilmente la definizione proposta sarebbe "inutile" ai fini del Calcolo. Infatti, la funzione definita come proponi sarebbe definita su un insieme troppo "bucato" per farci alcunché di sensato.
"gugo82":
Probabilmente la definizione proposta sarebbe "inutile" ai fini del Calcolo. Infatti, la funzione definita come proponi sarebbe definita su un insieme troppo "bucato" per farci alcunché di sensato.
Sono perfettamente d'accordo. Tuttavia, il problema centrale non è quello: il problema è che non è proprio possibile (in modo banale) arrivare a quella funzione definita su un insieme "bucato" senza rinunciare a proprietà elementari.
Difatti, funzioni (successioni) come: [tex](-2)^n, \ n \in \mathbb{N}[/tex] sono sempre ben definite. Il meccanismo, però, si inceppa quando provi a definire funzioni come: [tex](-2)^{ \frac{m}{n} }[/tex], cioè con esponente frazionale. Non è così banale far incastrare i pezzi del puzzle senza cadere in paradossi (vedi il problema della radice cubica di -8 nel mio post precedente) e non è tanto vero il fatto del denominatore dispari (in realtà, ricicla la regola di ridurre la frazione ai minimi termini, pessima idea). Tuttavia, come ho mostrato nel mio post precedente, anche i radicali non hanno nulla di cui vantarsi sul fronte delle proprietà formali, quindi la partita è ancora aperta.
Ragionando in campo complesso (la vera radice del problema), alla fine dei conti, tutto si riduce a sottigliezze su funzioni polidrome, principal branch e cose del genere (con tutto ciò che ne consegue). Basta vedere (ad esempio qui: Wikipedia) il paradosso di applicare proprietà elementari a cose come: [tex]e^{1+i2 \pi n}[/tex]. Spero di aver dato un'idea generale della situazione.
P.S. Aspetto che qualcuno scopra l'inghippo in quello che ho scritto sotto spoiler nel mio post precedente.
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