Perché il criterio della radice fallisce con l = 1 ?
Salve a tutti, come da titolo sto cercando di capire il motivo per il criterio della radice fallisce quando il limite tende a 1, ho provato a cimentarmi nella dimostrazione ma non ne sono uscito vivo 
, grazie a tutti 
, grazie a tutti
Risposte
Prova un po' ad applicare il criterio a
\[
\sum_{n >0} \frac{1}{n}
\]
e a
\[
\sum_{n >0} \frac{1}{n^2}.
\]
Che cosa puoi concludere?
\[
\sum_{n >0} \frac{1}{n}
\]
e a
\[
\sum_{n >0} \frac{1}{n^2}.
\]
Che cosa puoi concludere?
il criterio falisce perchè la dimostrazione si basa sul confronto con al serie geometrica; infatti
Se $ \sum_{n\ge0}a_n$ una serie a termini positivi e se esiste un numero $\lambda$ positivo e minore di uno, cioè $0<\lambda<1,$ e un indice $N$ per cui risulti
\begin{align}
\sqrt[n]{a_n }\le \lambda<1,\,\,\,\text{per $n\ge N,$},\qquad(1)
\end{align}
allora la serie è convergente. Se risulta invece $\root[n]{a_n }> 1$ per infiniti valori di $n$ allora la serie diverge.
Dimostrazione
Se vale la $(1 )$ per $n\ge N$ si ha $a_{n}\le \lambda ^n;$ quindi abbiamo che il termine generale $a_n$ della serie è maggiorato dal termine generale di una serie geometrica $ \lambda^n,$ ed essendo per ipotesi $0<\lambda<1,$ la serie geometrica ha ragione minore di uno, e dunque risulta convergente; allora per il criterio del confronto la serie $a_n$ converge. Se invece $\root[n]{a_n }> 1$, cioè $ a_n > 1$ per infiniti valori di $n,$ non è verificata la condizione necessaria di convergenza, e dunque la serie non converge. Naturalmente se $ \lambda=1 $ la serie geometrica diverge, e la relazione
\[a_{n}\le (\lambda)^n\]
non ti permette di concludere nulla: infatti ti dice solo che la serie $a_{n} $ è minore di $+\infty$ .... che sostanzialmente vuol dire tutto e niente!
Se $ \sum_{n\ge0}a_n$ una serie a termini positivi e se esiste un numero $\lambda$ positivo e minore di uno, cioè $0<\lambda<1,$ e un indice $N$ per cui risulti
\begin{align}
\sqrt[n]{a_n }\le \lambda<1,\,\,\,\text{per $n\ge N,$},\qquad(1)
\end{align}
allora la serie è convergente. Se risulta invece $\root[n]{a_n }> 1$ per infiniti valori di $n$ allora la serie diverge.
Dimostrazione
Se vale la $(1 )$ per $n\ge N$ si ha $a_{n}\le \lambda ^n;$ quindi abbiamo che il termine generale $a_n$ della serie è maggiorato dal termine generale di una serie geometrica $ \lambda^n,$ ed essendo per ipotesi $0<\lambda<1,$ la serie geometrica ha ragione minore di uno, e dunque risulta convergente; allora per il criterio del confronto la serie $a_n$ converge. Se invece $\root[n]{a_n }> 1$, cioè $ a_n > 1$ per infiniti valori di $n,$ non è verificata la condizione necessaria di convergenza, e dunque la serie non converge. Naturalmente se $ \lambda=1 $ la serie geometrica diverge, e la relazione
\[a_{n}\le (\lambda)^n\]
non ti permette di concludere nulla: infatti ti dice solo che la serie $a_{n} $ è minore di $+\infty$ .... che sostanzialmente vuol dire tutto e niente!
"Paolo90":
Prova un po' ad applicare il criterio a
\[
\sum_{n >0} \frac{1}{n}
\]
e a
\[
\sum_{n >0} \frac{1}{n^2}.
\]
Che cosa puoi concludere?
Si mi sono imbattuto in questi due casi e si vede che il criterio non ti può dire nulla ma Noisemaker ha confermato una intuizione che avevo avuto, ringrazio entrambi per la disponibilità
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