Perché esiste questo limite?

[Riccardo Desimini]

Una domanda concettuale.

Si sa che
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \]
non esiste.

Ma allora perché si può dire che esiste il limite
\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1-2x)^{\frac{1}{x}} \]?

[Noisemaker]

perchè in un intorno di zero la funzione è positiva, in realtà positiva per ogni $x<1/2$

[Riccardo Desimini]

Ok, però se procedo così
\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1-2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0} \left ( 1+ \frac{-2}{\frac{1}{x}} \right )^{\frac{1}{x}} = e^{-2} \]
Nel fare l'ultimo passaggio, però, ho supposto che $ \frac{1}{x} \rightarrow \infty $ per $ x \rightarrow 0 $, che non è vero.

[Noisemaker]

quello che hai fatto tu equivale a

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} (1-2x)^{\frac{1}{x}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \left ( 1- \frac{ 2}{\frac{1}{x}} \right )^{\frac{1}{x}}\qquad\to \\
&\qquad \mbox{posto} \frac{1}{x}=t \qquad \mbox{allora se } x\to0^+\Rightarrow t\to+\infty, \qquad \mbox{e se }x\to0^-\Rightarrow t\to-\infty\\
&=\begin{cases}\lim_{t \to +\infty} \left ( 1- \frac{ 2}{t} \right )^{t}=e^{-2}\\ \lim_{t \to -\infty} \left ( 1- \frac{ 2}{t} \right )^{t}=e^{-2}
\end{cases}
\end{align*}
quindi il limite esite.

[Riccardo Desimini]

Perfetto, era ciò che volevo sentirmi dire.

[Noisemaker]

[CaMpIoN]

"Riccardo Desimini":Una domanda concettuale.

Si sa che
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \]
non esiste.

Io so che

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty \]

Per quale motivo non esiste?

[Brancaleone1]

"CaMpIoN":

Io so che

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty \]

Per quale motivo non esiste?

$lim_(x->0^+) 1/x=+oo$

$lim_(x->0^-) 1/x=-oo$

$=>lim_(x->0^+) 1/x ne lim_(x->0^-) 1/x$

$=>$ esistono separatamente il limite destro e il limite sinistro, ma poiché questi sono diversi (e poiché un limite, se esiste, è unico) allora

$lim_(x->0) 1/x=text(non esiste)$