Perché $B_E \subseteq \bar{S}^{\sigma(E,E^*)}$?
Una nota proposizione afferma che se $E$ è uno spazio normato di dimensione infinita, \[S_E= \{x \in E \, : \, \|x \|=1 \}\]e \[B_E = \{x \in E \, : \, \| x \| \le 1 \}\]allora \(B_E = \overline{S_E} {}^{\sigma(E,E^*)} \) (chiusura debole di \(S_E\)), dove indico appunto con \(\sigma(E,E^*)\) la topologia debole. Per dimostrare che \(B_E \subseteq \overline{S_E} {}^{\sigma(E,E^*)}\) si fa così: dato un punto \(x_0 \in B_E\), si mostra \(V \cap S \ne \varnothing \ \forall \ V\) intorno di \(x_0\); allora \(x_0 \in \overline{S_E} {}^{\sigma(E,E^*)}\). Perché? Non mi pare che i chiusi deboli godano delle stesse proprietà sequenziali dei chiusi forti... sarà sicuramente una stupidata, ma non ci arrivo.
Ringrazio.
Ringrazio.
Risposte
Ma no, appunto, mica usa la chiusura sequenziale (dici per ogni $V$ intorno di $x_0$ e non su numerabili intorni). Ti torna?
P.S. Una nota en passant: occhio agli spazi con duale separabile: lì la palla è debolmente metrizzabile.
P.S. Una nota en passant: occhio agli spazi con duale separabile: lì la palla è debolmente metrizzabile.
"Paolo90":
Ma no, appunto, mica usa la chiusura sequenziale (dici per ogni $V$ intorno di $x_0$ e non su numerabili intorni). Ti torna? [...]
Questo mi torna certamente, ma ancora non afferro l'implicazione
"Delirium":
[...] \(V \cap S \ne \varnothing \ \forall \ V\) intorno di \(x_0\); allora \(x_0 \in \overline{S_E} {}^{\sigma(E,E^*)}\). [...]
E' una delle prime definizioni di chiusura che mi fu data (ai tempi di Analisi I, prima di Topologia).
Prop. $X$ spazio topologico, $A$ sottoinsieme di $X$ e $x \in X$. Allora \( x \in \overline{A} \) se e soltanto se ogni intorno di $x$ interseca $A$.
La freccia che ti interessa si può fare ad esempio così: siccome ogni intorno di $x$ interseca $A$, $x$ non può appartenere all'interno di $X \setminus A$. Quindi \(x \in \overline{A}\) perché ovviamente \(X=\overline{A} \cup \text{int}(X\setminus A)\). Torna tutto?
Prop. $X$ spazio topologico, $A$ sottoinsieme di $X$ e $x \in X$. Allora \( x \in \overline{A} \) se e soltanto se ogni intorno di $x$ interseca $A$.
La freccia che ti interessa si può fare ad esempio così: siccome ogni intorno di $x$ interseca $A$, $x$ non può appartenere all'interno di $X \setminus A$. Quindi \(x \in \overline{A}\) perché ovviamente \(X=\overline{A} \cup \text{int}(X\setminus A)\). Torna tutto?
A mo' di scusa posso dire che ad Analisi I caratterizzammo i chiusi soltanto negli spazi metrici (e che ogni tanto la mia memoria è pure fallace); in ogni caso sarei dovuto arrivarci da solo.
Grazie, Paolo!
Grazie, Paolo!
Ma figurati, per così poco. Buono studio
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